【雑記】　６月２８日はパーフェクト

今日６月２８日は、完全数（perfect number）の日である。
６ も ２８ も完全数なのだ。

完全数とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。

　　　６＝１＋２＋３
　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４

となっており、確かに完全数である。

このような日は ６月６日 と ６月２８日 以外にはない。

なぜなら、２桁以下の完全数は６と２８のみで、次に大きい完全数は４９６になってしまうからである。
以降、 ８１２８、３３５５０３３６、８５８９８６９０５６、．．．と続く。

現在までに知られている完全数は４８個であり、「偶数の完全数が無数に存在するか」、「奇数の完全数は存在するか」、「末尾が６か８以外の完全数は存在するか」という問題も、未解決のままである。完全数は紀元前から研究されており、その意味するところは小学生にも理解できるものでも、「こんなことがいまだに分からない」と思えるような未解決問題があるのが、数学の奥深さである。

完全数はメルセンヌ素数とも関係が深く、２＾ｎ−１ が素数ならば ２＾(ｎ−１)×(２＾ｎ−１) が完全数であることは紀元前から知られていた。（注：メルセンヌ素数とは、２の冪乗−１　の形に書ける素数のこと）

その後、オイラーの業績により、全ての偶数の完全数が、メルセンヌ素数に対応するものであることが分かった。すなわち、偶数の完全数を探すことは、メルセンヌ素数を探すことと同等なのである。

さらに、リュカは１９年かけて３９桁の自然数 ２＾１２７ − 1 が素数であることを確かめ、その結果７７桁の完全数を発見した。この数は、手計算で発見された最大の素数である。

現代においては、コンピュータにて計算されているが、もし新しい完全数／メルセンヌ素数が発見されたからといっても、前述の未解決問題が解決される訳ではない。

どなたか、前述の未解決問題を解くのに挑戦してみる方はいませんか？