【雑記】　今日はパーフェクトな日

６月２８日は「パーフェクトな日」である。

毎年この日が来ると、「今日はパーフェクトな日だなあ」と思い出すのである。

何のことを言っているのかと思うかもしれないが、それは ６ と ２８ という数字に関係ある。
６ も ２８ も完全数（perfect number）なのである。

完全数とは、自分自身を除く約数の和に等しくなる自然数のことである。６の約数は１、２、３であり、１＋２＋３＝６　となっている。２８も同様で、１＋２＋４＋７＋１４＝２８である。もう少し大きい数では、４９６＝１＋２＋４＋８＋１６＋３１＋６２＋１２４＋２４８　もある。

実は、１０００より小さい完全数は上にあげた　６、２８、４９６　の３つしかない。このあと、８１２８、２２５５０３３６、８５８９８６９０５６、．．．と続く。これを「完全数は少ない」と見るかどうかは何とも言えぬが、少なくともカレンダーの日付に現れるのは、６月６日と６月２８日しかない。完全数が２つも出てくる日は６月２８日だけだ。だから今日を「完全（パーフェクト）な日」というのである。

完全数は現在までに５０個しか発見されていない。メルセンヌ素数も同じく５０個しか発見されていないが、完全数とメルセンス素数は実は密接な関係がある。ユークリッドは、2＾n−1 が素数ならば、2＾（n−1）×（2＾n−1） は完全数であることを証明した。2＾n−1 が素数であるためには n が素数であることが必要である。この形に表される素数をメルセンヌ素数というが、現在までに発見されている「大きな素数」はメルセンヌ素数ばかりなのである。メルセンス数が素数であるかどうかの判定方法は存在し、コンピュータにより「発見」することが出来る。（最新の最大素数発見の記録更新までに約２年かかったが。）

完全数の定義は小学生でも分かる。でも、紀元前から研究されているにも関わらず、「完全数は無限に存在するか」、「奇数の完全数は存在するか」という問題は未解決のままである。

完全数、それはまさに完全な数。中世ヨーロッパでは、６は地上における神の完全性、２８は天界における神の完全性を表していると考えられていた。

６月２８日というのは、１年のうちでも貴重な日なのである。