■獺狐余話(19)　/　「素数ゼミ」の話(6)

●2014年08月25日 (月)　　未明　　涼し

　▼「ナラトさん。

　　　秋ですねー、地虫が鳴いています」


　　「ああ、そうだねー。

　　　鳴いてるねー」



　　「きょう、３時過ぎ、急に、ザ、ザー、ザー

　　　って、降ってきたでしょう・・。

　　　川西あたりも、随分、降ったように、

　　　ここらも大雨降るのか、と思っていたら、

　　　雨は、１０分もせぬうち、やんでしまったでしょう・・」


　　「うん、そうだったけど・・・」



　　「その雨がやんだあとです。

　　　オレ、秋やなー、

　　　と思ったんです・・」



　▼「ナラトさん。

　　　ふたりとも、よう寝たですね・・」


　　「ほんと、ぐっすり眠ったよ・・」

　　
　　「体がひんやりして目が覚めたんだけど、

　　　もう、２時すぎてて、

　　　オレ、びっくりしてもうたです」


　　「ああ、ボクもそうだ。

　　　晩飯を食べた後、布団ひろげて横になったら

　　　もう、すぐに眠って、

　　　気がついたら、この時間だ・・」


　　「秋は、頭がすっきりしますね・・。

　　　すぐにも、頭にはいりそうで、

　　　心にも、染み渡っていきそうです」


　　「そうか、それじゃあ、はじめようか！」



　▼「キツネくん。

　　　復習だけど、『最小公倍数』というの覚えてる・・？」


　　「ええ、覚えてますよ。

　　　ふたつの数が、最初に出会うときのことでしょう」


　　「あああ、あ、そうなんだけど、

　　　ボクたちは、そんな言葉使いで話してきたんだけど、

　　　普通に言うと、ある数とある数の『倍数』のなかで、

　　　最小の数のこと、そうだったね」



　　「ええ、そうですよ。

　　　２と３が、一番最初に出会うのは、６でしょう・・。

　　　２年ゼミと、３年ゼミは、偶然出会ったときから数えて、

　　　次に再会するのは、６年後でしょう。

　　　そのあとは、１２年後、１８年後、２４年後、と

　　　『最小公倍数』の倍数の年に出会うのでしょう・・」


　▼「すっ、すごい。

　　　言葉使いは変だけど、その通り。

　　『倍数』の言葉の意味も正確だ、キツネくん」



　　「オレ、マスターしました・・！」


　　「うん、では、キツネくん。

　　　セミとしては、できるだけ、他の周期のセミと出会わないように

　　　するためには、この『最小公倍数』をできるだけ大きな数にすれば、

　　　他の周期ゼミと出会う間隔は、大きく広がって、次に出会うのは

　　　だいぶ飛んで、ずっとあとになる、という事だったね・・・」




　▼「ああ、オレ、わかってきました・・。

　　　ナラトさんの言いたいこと・・」


　　「えっ、そう・・。　もう、わかってくれた！」


　　「６年ゼミと８年ゼミの場合だと、６と８は『素数』じゃなくて、

　　　『合成数』だから、２年ゼミと３年ゼミのように『素数』の
　
　　　セミのように、２×３＝６で、６年後が『最小公倍数』になる、

　　　ちゅう具合には、いかんよ、ちゅうことでしょう・・」



　　「うわぁ、すごい。

　　　すごい先読みじゃないか。まさに、その通りなんだ。


　　　ちょっと調べてみようじゃないか。

　　　６年ゼミの周期は、

　　　６、１２、１８、２４、３０、３６、４２、４８、５４、６０・・


　　　一方、８年ゼミの周期は、

　　　８、１６、２４、３２、４０、４８、５６、６４、７２、８０・・。


　　　すると、６年ゼミと８年ゼミの出会いは、一番最初は、

　　　２４年後、ということになる。そして、そのあとは、２４の倍数の年、

　　　２４、４８、７２、・・
　　　
　　　と、なっていく。６年ゼミは６０のあと、６６、７２、・・と周期は

　　　続くから、たしかに、７２年後も、６年ゼミと８年ゼミは出会うことに

　　　なっている」


　　　　
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　▼「ナラトさん。

　　　２と３は『素数』やから、大きな『素数の表』で、横に、かけ算の

　　　式、書いてなかったけど、６と８は、『合成数』やから、

　　　下に、かけ算の式が書いてあったんと、ちがいます・・？」


　　　　　　　



　▼「ほんと、キツネくん。

　　　よくそこまで、『表』の意味を読みとったねー。

　　　６　＝　２　×　３
　　　８　＝　２　×　２　×　２

　　　と、なっているだろう。　そして、６と８には、ともに

　　　２という数が、かけ算の中に含まれている。


　　　だから、『最小公倍数』は、

　　　　　６　×　８　＝　４８　　でなく、


　　　両方の『約数』の「　２　」　を　１個、省略して、


　　　　　４８　÷　２　＝　　２４


　　　になる。





　▼「オレも気づいとったけど、

　　　２年ゼミと３年ゼミの場合は、２×３＝６、で、６、が『最小公倍数』やけど、

　　　６年ゼミと８年ゼミの場合は、６×８＝４８、で、４８、が『最小公倍数』に

　　　なるか、と思ったら、それは間違いで、その半分の、２４が『最小公倍数』に

　　　なる、ということですね」



　▼「その通り。

　　　つまり、６と８には、２という『約数』が含まれているので、

　　　その分、６と８の『最小公倍数』は小さくなってしまう、ということなんだ・・」



　　「キツネくん。よく、わかったねー！！

　　　じゃあ、キツネくん。

　　　セミは、自分が『合成数』の周期のセミであるよりは、

　　　『素数』のセミであるほうが、きっと『最小公倍数』、つまり、

　　　他の周期のセミと出会う間隔を広げられる、と考えるだろう・・。


　　　『最小公倍数』を、より大きくするためには、自分が『素数』のセミである

　　　ということが、とても有利に働く・・。


　　　このことを、次の『表』で確かめてみよう・・」


　　　　　
　　　　　　　　　　　　拡大図はこちら




　▼「キツネくん。

　　　６年ゼミと８年ゼミとの出会いと、５年セミと７年ゼミの出会いを

　　　比較してみよう。

　　　この組み合わせでは、６は５より大きく、８は７より大きい。

　　　従って、見かけのうえでは、６年周期×８年周期のほうが、

　　　出会いにくいように見える。


　　　しかし、実際はそうじゃないんだ」


　　「ナラトさん。

　　　もう、オレ、だいぶ、わかってきましたよ。

　　　　６　＝　２　×　３
　　　　８　＝　２　×　２　×　２

　　　したがって、これは、さっきやったように、『最小公倍数数』は

　　　　(２　×　３)　×　(２　×　２　×　２)

　　　とはならずに、両方にある「２」の１個を減らした、

　　　　２　×　３　×　２　×　２　＝　２４

　　　となり、「２４年」ごとに出会います。



　▼「では、５年ゼミと７年ゼミの出会いは、どうなるのだろう、

　　　キツネくん」


　　「それは、５も、７も、ともに『素数』ですから

　　　５　＝　５　×　１
　　　７　＝　７　×　１

　　であり、『最小公倍数』は、「　５　×　７　＝　３５　」ですから、

　　「３５年」ごとに出会います。



　▼「そう、その通り。上の『表』で、そのことを確かめてみよう。

　　　ちゃんと、そのようになっているね。


　　　このように、周期の数が大きいからといって、２つの周期の異なるセミが

　　　出会う周期が大きくはならず、その数が『素数』であれば、『素数』は約数を

　　　もたないので、かえって、『最小公倍数』は大きくなるんだ。


　　　これが『素数』の特徴なんだ」



　▼「ナラトさん、それで、セミは『素数』が好きなんですね」

　　
　　「実際に『氷河期』を、北アメリカのレフュージアで生き延びたセミたちの

　　　仲間は、比較的に暖かな南方では、１２年から１５年かけて成虫になり、
　　　
　　　そして、１２年ゼミ、１３年ゼミ、１４年ゼミ、１５年ゼミとなった。


　　　また、北方では、１４年から１８年くらいかけて成虫なる、１４年ゼミや

　　　１５年ゼミ、１６年ゼミ、１７年ゼミ、１８年ゼミ、というのがいた。


　　　地中で幼虫期を過ごすのも、大変なことで、あんまり長期に地中にいると

　　　カビや細菌にやられたり、体力保持ができなかったりして死んでしまう。

　　　だいたい１８年くらいが地中で暮らす限界だったのではないか、と考えられている」



　▼「ナラトさん、

　　　ナラトさんの言いたいこと、もうわかってます。


　　　南方の１２年〜１５年の周期のセミの中では『１３年ゼミ』が生き残り、

　　　北方の１４年〜１８年の周期のセミの中では『１７年ゼミ』が生き残った、

　　　というんでしょう。


　　　そして、１２〜１５の中では、「１３」が『素数』であり、

　　　同じように、１４〜１８の中では、「１７」が『素数』である、

　　　というんでしょう！」



　▼「やだなー。結論を先回りして・・。

　　　でも、キツネくんのいう通りなのだ。


　　　まえに、こんな『絵』を見たね」

　　
　　　　　

　　　　

　　

　▼「この『絵』は、北米のあるレフュージアに、

　　　１５年ゼミ、１６年ゼミ、１７年ゼミ、１８年ゼミ

　　　の、４つの異なった周期をもつセミが生き残ったとき、

　　　１００年後、１０００年後、１万年後に、
　
　　　それぞれのセミには、どんなことが起きるか、

　　　それを、描いたものなんだ。



　　　いっぺんに描くとややこしいので、

　　　『絵』は、１５年ゼミと１８年ゼミとの関係を、例として

　　　描いている」


　　　


　▼「そして、注意してほしいのは、『絵』の左側の一番下に、

　　　『やがてどちらも絶滅してしまう』と書いてあるだろう。


　　　しかし、こうゆう風に言うためには、ほんとは、まだまだ

　　　確かめなければならない事が、いくつかあるんだ」



　　「どんなことですか、それは？・・」





　▼「１５年ゼミと１８年ゼミでは、すでに調べたように、

　　　１５　＝　３　×　５
　　　１８　＝　２　×　３　×　３

　　　と、両方に「３」という約数が１個入っているので、

　　　『最小公倍数』は、

　　　　　３　×　５　×　２　×　３　＝　９０

　　　となり、「９０年」に１回、１５年ゼミと１８年ゼミは出会うことになる。

　　　それぞれのセミの周期を書いて、いつ周期が一致するか、その年を調べてもいい。


　　　　１５年ゼミ　：　１５、３０、４５、６０、７５、９０、１０５、・・・
　　　　１８年ゼミ　：　１８、３６、５４、７２、９０、１０８、・・・

　　　確かに、『最小公倍数』は「９０」で、９０年ごとに出会う。



　▼「しかし、これは、１５年ゼミと１８ゼミだけの関係であって、この

　　　レフュージアには、ほかにも、１６年ゼミと１７年ゼミがいる。


　　　したがって、他の周期のセミ(もう、これを周期ゼミと呼ぼう)との

　　　関係も考えなくてはならない。


　　　すると、組み合わせは、

　　　　１５年ゼミ　と　１６年ゼミ
　　　　１５年ゼミ　と　１７年ゼミ
　　　　１５年ゼミ　と　１８年ゼミ
　　　　１６年ゼミ　と　１７年ゼミ
　　　　１６年ゼミ　と　１８年ゼミ
　　　　１７年ゼミ　と　１８年ゼミ

　　　この、６つの組み合わせ、つまり、出会いがある。

　　　したがって、これらの組み合わせの周期ゼミの出会いの間隔、

　　　つまり、出会いの周期がどうなのか、も調べなくてはならないのだよ。



　▼「さっき調べたのは、この６通りの組み合わせ、出会いのうちの

　　　１５年ゼミ　と　１８年ゼミ　　出会いの周期　　「９０」年

　　　という、ひとつの組み合わせの『出会いの周期』であった。


　　　では、キツネくん。

　　　次の『表』の、あと残り５つの、『出会い周期』はどうなるだろうか。

　　　
　　　　１５年ゼミ　と　１６年ゼミ　　出会いの周期　　　　？
　　　　１５年ゼミ　と　１７年ゼミ　　出会いの周期　　　　？
　　　　１５年ゼミ　と　１８年ゼミ　　出会いの周期　　「９０」年
　　　　１６年ゼミ　と　１７年ゼミ　　出会いの周期　　　　？
　　　　１６年ゼミ　と　１８年ゼミ　　出会いの周期　　　　？
　　　　１７年ゼミ　と　１８年ゼミ　　出会いの周期　　　　？


　▼「ええ、また、オレが計算するんですか・・。

　　　なんか、だまし討ちみたいやけど、オレにも

　　　計算できそうー・・」


　　「それはよかった。

　　　きょうが『最終回』と思っていたが、また

　　　終わらなかったね・・」



　　「いいえ、ナラトさん。
　　　
　　　少しだけわかるようになったので、

　　　この『話』つづけても、苦にはなりません」



　　　★★★　　★★★　　★★★　　★★★　　★★★

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