無零調和級数

どの桁にも 0 が現れない整数を無零数と呼ぶことにする。
1 から 100 までの無零数を列挙したものは以下の通り。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24,25,26,27,28,29,31,32,33,34,35,36,37,38,39,
41,42,43,44,45,46,47,48,49,51,52,53,54,55,56,57,58,59,61,62,63,64,65,66,67,68,69,
71,72,73,74,75,76,77,78,79,81,82,83,84,85,86,87,88,89,91,92,93,94,95,96,97,98,99
桁が大きくなれば 0 が含まれる確率は高くなり、桁数が増えれば増えるほど急速に 1 に近づく。
言い換えれば、桁数が増えれば増えるほど整数に占める無零数の割合が 0 に近づく。

この無零数だけで構成された調和級数（どの桁にも 0 が現れない自然数の逆数和）を無零調和級数（Σ 1/a）と呼ぶ。
即ち、
Σ 1/a = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/11 + …

この無零調和級数は収束する。
10^(x-1) と 10^x の間にある無零数の個数は 9^x 個なので、その間にある無零数の逆数の和は 9^x / 10^(x-1) より小さい。
従って、
Σ 1/a < Σ 9^x / 10^(x-1) = 9/(1 - 9/10) = 90
この級数の収束はとても遅いが、23.10345… に収束する。

0 抜き（無零数）に限らず、どの１桁の数字を抜いても残った項は有限の値に収束する。
さらに言うと１桁の数に限る必要はなく、どんな数を抜いても間引いた調和級数は収束する。
例えば、9 でも 314159 でも同じ理由から収束する。

ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/5120_u9.htm

参照（過去の日記）：
調和級数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=651757161&owner_id=14882521
任意の自然数に数字 x が含まれる確率
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1679859644&owner_id=14882521