レムニスケート曲線

極座標の方程式 r^2 = 2(a^2)cos2θ で表される曲線である。連珠形とも呼ばれる。
また、ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli）によって楕円の変形として最初に言及された（1694年）ことから、
ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。

直交座標の方程式では (x^2 + y^2)^2 - 2(a^2)(x^2 - y^2) = 0 となる。
これは、カッシーニの卵形線の直交座標の方程式 (x^2 + y^2)^2 - 2(b^2)(x2 - y2) - (a^4 - b^4) = 0 における、
a = b の場合である。
故に、カッシーニの卵形線の特殊な場合と見なすことができる。

x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線は y=x , y=-x となる。
原点Oとでx軸と交わる（以下、この二点を「交点」と呼ぶ）。
レムニスケート上では、「任意の点と一方の「交点」との距離」と「その任意の点ともう一方の「交点」との距離」の積は一定である
(即ち「２点からの距離の積が一定値であるような点の軌跡」)。
直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。
ループ1つで囲まれる面積は a^2 であり、2つ合わせて 2(a^2) となる。

※　左画像：座標上のレムニスケート、右画像：トーラスの断面に見られるレムニスケート

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%83%8B%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli
ttp://mathworld.wolfram.com/Lemniscate.html
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/lemniscate.htm

参照（語彙）：カッシーニの卵形線
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%8D%B5%E5%BD%A2%E7%B7%9A
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cassini_oval
ttp://mathworld.wolfram.com/CassiniOvals.html

参照（関連サイト）：
二葉線（レムニスケート曲線のグラフを、原点を中心として45°回転させたもの）
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/niyo.htm
Dumbbell curve
ttp://mathworld.wolfram.com/DumbbellCurve.html
Eight curve
ttp://mathworld.wolfram.com/EightCurve.html
Viviani's curve
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Viviani's_curve
ttp://mathworld.wolfram.com/VivianisCurve.html

参照（未来の日記）：レムニスケート周率
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=771520877&owner_id=14882521