2の冪

自然数で、2の累乗数 2^n のこと。即ち、2のn乗になっている数を指す。
2倍に増やす方法や、「1+1」から始めて答えを2つずつ加え合わせる方法などによって得られる数である。

いくつかを列記したものは以下の通り（「↑↑」はクヌースの矢印表記）。
2^0 = 1 ,
2^1（= 2↑↑1） = 2 ,
2^2（= 2↑↑2 = 2↑↑↑2） = 4 ,
2^3 = 8 ,
2^4（= 2^2^2 = 2↑↑3） = 16 ,
2^5 = 32 ,
2^6 = 64 ,
2^7 = 128 ,
2^8 = 256 ,
2^9 = 512 ,
2^10 = 1024 ,
2^11 = 2048 ,
2^12 = 4096 ,
2^13 = 8192 ,
2^14 = 16384 ,
2^15 = 32768 ,
2^16（= 2^2^2^2 = 2↑↑4 = 2↑↑↑3） = 65536 ,
2^17 = 131072 ,
2^18 = 262144 ,
2^19 = 524288 ,
2^20 = 1048576 ,
2^21 = 2097152 ,
2^22 = 4194304 ,
2^23 = 8388608 ,
2^24 = 16777216 ,
2^25 = 33554432 ,
2^26 = 67108864 ,
2^27 = 134217728 ,
2^28 = 268435456 ,
2^29 = 536870912 ,
2^30 = 1073741824 ,
2^31 = 2147483648 ,
2^32 = 4294967296 , … ,
2^40 = 1099511627776 , … ,
2^50 = 1125899906842624 , … ,
2^60 = 1152921504606846976 , … ,
2^64 = 18446744073709551616 , … ,
2^70 = 1180591620717411303424 , … ,
2^80 = 1208925819614629174706176 , … ,
2^90 = 1237940039285380274899124224 , … ,
2^100 = 1267650600228229401496703205376 , … ,
2^128 = 340282366920938463463374607431768211456 , … ,
2^200 = 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376 , … ,
2^256 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936 , … ,
2^300 = 2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376 , … ,
2^400 = 2582249878086908589655919172003011874329705792829223512830659356540647622016841194629645353280137831435903171972747493376 , … ,
2^500 = 3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589376 , … ,
2^512 = 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096 , … ,
2^600 = 4149515568880992958512407863691161151012446232242436899995657329690652811412908146399707048947103794288197886611300789182395151075411775307886874834113963687061181803401509523685376 , … ,
2^700 = 5260135901548373507240989882880128665550339802823173859498280903068732154297080822113666536277588451226982968856178217713019432250183803863127814770651880849955223671128444598191663757884322717271293251735781376 , … ,
2^800 = 6668014432879854274079851790721257797144758322315908160396257811764037237817632071521432200871554290742929910593433240445888801654119365080363356052330830046095157579514014558463078285911814024728965016135886601981690748037476461291163877376 , … ,
2^900 = 8452712498170643941637436558664265704301557216577944354047371344426782440907597751590676094202515006314790319892114058862117560952042968596008623655407033230534186943984081346699704282822823056848387726531379014466368452684024987821414350380272583623832617294363807973376 , … ,
2^1000 = 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376 , … ,
2^1024 = 179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216 , … ,
2^2048 = 32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596230656 , … ,
2^4096 = 1044388881413152506691752710716624382579964249047383780384233483283953907971557456848826811934997558340890106714439262837987573438185793607263236087851365277945956976543709998340361590134383718314428070011855946226376318839397712745672334684344586617496807908705803704071284048740118609114467977783598029006686938976881787785946905630190260940599579453432823469303026696443059025015972399867714215541693835559885291486318237914434496734087811872639496475100189041349008417061675093668333850551032972088269550769983616369411933015213796825837188091833656751221318492846368125550225998300412344784862595674492194617023806505913245610825731835380087608622102834270197698202313169017678006675195485079921636419370285375124784014907159135459982790513399611551794271106831134090584272884279791554849782954323534517065223269061394905987693002122963395687782878948440616007412945674919823050571642377154816321380631045902916136926708342856440730447899971901781465763473223850267253059899795996090799469201774624817718449867455659250178329070473119433165550807568221846571746373296884912819520317457002440926616910874148385078411929804522981857338977648103126085903001302413467189726673216491511131602920781738033436090243804708340403154190336 , … ,
2^8192 = 1090748135619415929462984244733782862448264161996232692431832786189721331849119295216264234525201987223957291796157025273109870820177184063610979765077554799078906298842192989538609825228048205159696851613591638196771886542609324560121290553901886301017900252535799917200010079600026535836800905297805880952350501630195475653911005312364560014847426035293551245843928918752768696279344088055617515694349945406677825140814900616105920256438504578013326493565836047242407382442812245131517757519164899226365743722432277368075027627883045206501792761700945699168497257879683851737049996900961120515655050115561271491492515342105748966629547032786321505730828430221664970324396138635251626409516168005427623435996308921691446181187406395310665404885739434832877428167407495370993511868756359970390117021823616749458620969857006263612082706715408157066575137281027022310927564910276759160520878304632411049364568754920967322982459184763427383790272448438018526977764941072715611580434690827459339991961414242741410599117426060556483763756314527611362658628383368621157993638020878537675545336789915694234433955666315070087213535470255670312004130725495834508357439653828936077080978550578912967907352780054935621561090795845172954115972927479877527738560008204118558930004777748727761853813510493840581861598652211605960308356405941821189714037868726219481498727603653616298856174822413033485438785324024751419417183012281078209729303537372804574372095228703622776363945290869806258422355148507571039619387449629866808188769662815778153079393179093143648340761738581819563002994422790754955061288818308430079648693232179158765918035565216157115402992120276155607873107937477466841528362987708699450152031231862594203085693838944657061346236704234026821102958954951197087076546186622796294536451620756509351018906023773821539532776208676978589731966330308893304665169436185078350641568336944530051437491311298834367265238595404904273455928723949525227184617404367854754610474377019768025576605881038077270707717942221977090385438585844095492116099852538903974655703943973086090930596963360767529964938414598185705963754561497355827813623833288906309004288017321424808663962671333528009232758350873059614118723781422101460198615747386855096896089189180441339558524822867541113212638793675567650340362970031930023397828465318547238244232028015189689660418822976000815437610652254270163595650875433851147123214227266605403581781469090806576468950587661997186505665475715792896 , … ,
2^10000 = 19950631168807583848837421626835850838234968318861924548520089498529438830221946631919961684036194597899331129423209124271556491349413781117593785932096323957855730046793794526765246551266059895520550086918193311542508608460618104685509074866089624888090489894838009253941633257850621568309473902556912388065225096643874441046759871626985453222868538161694315775629640762836880760732228535091641476183956381458969463899410840960536267821064621427333394036525565649530603142680234969400335934316651459297773279665775606172582031407994198179607378245683762280037302885487251900834464581454650557929601414833921615734588139257095379769119277800826957735674444123062018757836325502728323789270710373802866393031428133241401624195671690574061419654342324638801248856147305207431992259611796250130992860241708340807605932320161268492288496255841312844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992461028630081535583308130101987675856234343538955409175623400844887526162643568648833519463720377293240094456246923254350400678027273837755376406726898636241037491410966718557050759098100246789880178271925953381282421954028302759408448955014676668389697996886241636313376393903373455801407636741877711055384225739499110186468219696581651485130494222369947714763069155468217682876200362777257723781365331611196811280792669481887201298643660768551639860534602297871557517947385246369446923087894265948217008051120322365496288169035739121368338393591756418733850510970271613915439590991598154654417336311656936031122249937969999226781732358023111862644575299135758175008199839236284615249881088960232244362173771618086357015468484058622329792853875623486556440536962622018963571028812361567512543338303270029097668650568557157505516727518899194129711337690149916181315171544007728650573189557450920330185304847113818315407324053319038462084036421763703911550639789000742853672196280903477974533320468368795868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376 , … ,
2^65536（= 2^2^2^2^2 = 2↑↑5） = （19729桁） ,
…

1を2の累乗数で割って行くと、小数には位取り記数法の基数の半分の数が累乗数として現れる。
例えば、十進法の位取り（十進数）では、1を2の累乗数で割っていくと小数には5の累乗数が現れる。
〔1/2 = 0.5（5^1）、1/4 = 0.25（5^2）、1/8 = 0.125（5^3）、1/16 = 0.0625（5^4）〕
同じく、十二進数では6の累乗数が、二十進数では十の累乗数が現れる。
〔十二進数：1/2 = 0.6（6^1）、1/4 = 0.30（6^2＝三十六）、1/8 = 0.160（6^3＝二百十六）、1/14（十六）= 0.0900（6^4＝千二百九十六）〕

2の冪に関する話として、古代のインドのセーラムという王の家来セッサ・イブン・ダヘルがチャトランガ（将棋に似たゲーム）を発明した時のものがある（中世アラビアの詩人アル=サブハーディ伝）。

2の冪よりも1小さい自然数、すなわち (2^n)-1 の形の自然数をメルセンヌ数という。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E5%86%AA
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_two

参照（語彙）：
メルセンヌ数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E6%95%B0

参照（関連サイト）：インドのチャトランガ(将棋の先祖)のお話し
ttp://homepage1.nifty.com/haniu/rajan.html
ttp://homepage1.nifty.com/haniu/050602.html

参照（未来の日記）：
2↑↑n
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=768288235&owner_id=14882521
クヌースの矢印表記（タワー表記）
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=769331392&owner_id=14882521