ヘロンの公式とブラーマグプタの公式

ヘロンの公式とは、三角形の3辺の長さから面積を求める公式のことである。

長さ a,b,c の線分を辺とする三角形（左画像）があり、s=(a+b+c)/2 と置く。
この場合の三角形の面積を S とした場合に下記の公式が成立する。
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

また、以下の通りに書き表わすことが出来る。
S = √((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b))/4
S = √(2((a^2)(b^2)+(a^2)(c^2)+(b^2)(c^2))-((a^4)+(b^4)+(c^4)))/4
S = √((((a^2)+(b^2)+(c^2))^2)-2((a^4)+(b^4)+(c^4)))/4

直線のみで囲まれた図形は、どんなに複雑な形をしていようとも必ず三角形に分割することができ、
かつ、この公式を使えば高さを求める必要が無いので、土地の面積を求める便利な公式としても知られている（三辺法）。
この公式は、アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、
現代ではこれ自体はアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Heron's_formula


ブラーマグプタの公式とは、円に内接する四角形の四辺の長さから面積を求める公式である。

四角形 ABCD があるとする（右画像）。辺の長さを AB=a,BC=b,CD=c,DA=d とし、s=(a+b+c+d)/2 と置く。
一つの大きさが与えられた円が存在し、四角形 ABCD がその円に内接している、
すなわち頂点の A,B,C,D が円の円周上にあるとするならば、四角形の面積 S とした場合に下記の公式が成立する。
S = √((s-a)(s-b)(s-c)(a-d))

三角形を四角形の特別な場合とみて a=0 とし、この定理の条件の円を三角形の外接円と考えればヘロンの公式が得られる。
即ち、S = √((s-0)(s-b)(s-c)(a-d)) = √(s(s-a)(s-b)(s-c))（ヘロンの公式）

さらにこの四角形 ABCD が円に外接するとき、いわゆる双心四角形の面積 S は以下の通りに表せる。
S = √(abcd)
これは、内接円をもつ四角形の性質とブラーマグプタの公式を利用して得られる簡潔な公式である。

また、一般化として円に内接しない四角形の面積を求める公式も知られている。
四角形 ABCD の向かい合う角の和、たとえば ∠ABC + ∠CDA の半分を t とすると、以下が成り立つ。
S = √((s-a)(s-b)(s-c)(a-d) - abcd cos^2(t))
ここで、もし四角形 ABCD が円に内接しているならば、向かい合う角の和は 180°となるから t = 90°であり、
cos(t) = 0 となるため、ブラーマグプタの公式が得られる。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta's_formula


参照（語彙）：
双心四角形
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%BF%83%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2
余弦定理（公式の導出に使われる）
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86

参照（関連サイト）：
三角形の面積の公式
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm
ブラマグプタの公式
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle3.htm