上界・下界、極大元・極小元、最大元・最小元、上限・下限

順序集合の空でない部分集合 A について、A の任意の元 a に対して a≦b が成り立つような b を A の上界（upper bound）という。
上界が存在するとき、集合 A は上に有界であるという。
また、A の任意の元 a に対して b≦a が成り立つような b を A の下界（lower bound）という。
下界が存在するとき、集合 A は下に有界であるという。
上下に有界であるとき、単に有界である（bounded）という。

A のある元 s に対して s≦a となる A の元 a は常に s=a となるとき、s を極大元（maximal element）という。
また、A のある元 s に対して、a≦s となる A の元 a は常に s=a となるとき、s を極小元（minimal element）という。

A のある元 m が任意の A の元 a に対して a≦m を満たすとき、m を A の最大元（maximum element）といい、max A と書く。
また、A のある元 m が任意の A の元 a に対して m≦a を満たすとき、m を A の最小元（minimum element）といい、min A と書く。
最大元や最小元は高々一つしかないことが、反対称律（antisymmetry：a≦b かつ b≦a ならば a=b が成立）から示される。
最大元は極大元になるが、この逆は正しくない。A はいくつもの異なる極大元を持つかもしれない。

上界の集合の最小元（つまり、最小の上界）のことを、上限（least upper bound, supremum）といい、sup(A) と書く。
また、下界の集合の最大元（つまり、最大の下界）のことを、下限（greatest lower bound, infimum）といい、inf(A) と書く。
A が最大元 M を持てば、M は A の上限になる。また、A が最小元 m を持てば、m は A の下限になる。

順序集合
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
upper and lower bounds
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Upper_and_lower_bounds
maximal element and minimal element
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Maximal_element
extreme value（minimum and maximum）
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value
supremum
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Supremum
infimum
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Infimum

関連サイト（語彙）：
有界
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set
上極限と下極限
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
maxima and minima
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima

参照（関連サイト）：
すうぷ
ttp://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/sup.html