0.999…

十進法で書かれた数の一つ。
数学において、小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環（十進）小数 0.999… が実数を表すものならば、それはちょうど 1 に等しい。
しかしもちろんそれと同時に、実数とはまったく異なるいくつかの数体系ではこれらの直感的な感覚が真であるようなことも起こりうる。
実際に合理的に「0.999…」と呼ぶことのできる対象があって、それが厳密に 1 よりも小さいような体系さえあるのである（Fred Richman"Breaking subtraction"：「減法の崩壊」）。

等式 0.999… = 1 の証明はいろいろある。
これを代数的に示す前に、「2つの実数が等しいのは、これらの差（の絶対値）が（第3の）正の実数に等しくない場合に限る」ことに注意する。
1 と 0.999… との距離は、任意に与えられた任意の正の数より小さい（これは上記の数列で定義される閉区間と三角不等式を用いて形式的に証明できる）。
したがって、この距離は 0 であり、それゆえ 1 と 0.999… は等しい。このことを用いると 例えば 0.333… = 1/3 である理由も説明することができる。
整数や有限小数の場合と異なり、それ以外の表記法は1つの数をいくつかの方法で表すことができる。例えば、分数を用いると、 1/3 = 2/6 となる。
しかしながら、無限小数は一つの数を高々2通りの方法でしか表すことができない。
もし、2つの方法があったとすると、そのうちの1つは最後に 9 が無限に続く形であり、もう1つは有限で終わる形である（すなわち、あるところから先は 0 が繰り返す列からなる）。

証明例としては、以下の通り。
・分数を用いた証明：0.333… = 1/3 , 3*0.333… = 3*(1/3) = (3*1)/3 , 0.999… = 1
・代数的な証明：c = 0.999… , 10c = 9.999… , 10c-c = 9.999…-0.999… , 9c = 9 , c = 1
・実解析による証明（無限数列と無限級数を用いた証明）：0.999… = 9*(1/10)+9*(1/10)^2+9*(1/10)^3+… = (9*(1/10))/(1-(1/10)) ※ = 1
（※　収束定理：|r|<1 ならば ar+ar^2+ar^3+… = ar/(1-r)）

区間縮小法の原理（閉区間の無限減少列が与えられ、その幅が 0 に収束するとき、それらの区間の共通部分がただ1つの実数であることが保証される）を用いた証明法では、 トム・アポストルは次のように結論した。
「実数が2つの異なる小数表示をもつ可能性があるという事実は、単に、実数を元にもつ異なる2つの集合が等しい上限をもつ可能性があるという事実の裏返しに過ぎない。」
（"The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum."）

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
ttp://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

参照（語彙）：
順序体（アルキメデス性）
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E4%BD%93
トム・アポストル
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AB
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Tom_M._Apostol

参照（未来の日記）：
収束する実数列の極限値はただ1つであることの証明
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1902312853&owner_id=14882521
循環小数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1904718121&owner_id=14882521
1 ＝ 0.999… の証明
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1944043158&owner_id=14882521