因数分解

数学において整式をいくつかの整式の積で表す方法。展開の逆演算にあたる。
因数分解がなされた時に、それぞれの整式を因数という。
一般に、整式を因数分解することは展開と違って易しくない。
ちょうど整数を素数の積に素因数分解する事が易しくない事に対応する。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Factorization

x^n-y^n（n≦20）の因数分解（有理数（もしくは整数）の範囲）は以下の通り。
n=2:(x-y)(x+y)
n=3:(x-y)(x^2+xy+y^2)
n=4:(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
n=5:(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)
n=6:(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y2)
n=7:(x-y)(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6)
n=8:(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)
n=9:(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^6+x^3y^3+y^6)
n=10:(x-y)(x+y)(x^4-x^3+x^2y^2-xy^3+y^4)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)
n=11:(x-y)(x^10+x^9y+x^8y^2+x^7y^3+x^6y^4+x^5y^5+x^4y^6+x^3y^7+x^2y^8+xy^9+y^10)
n=12:(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)
n=13:(x-y)(x^12+x^11y+x^10y^2+x^9y^3+x^8y^4+x^7y^5+x^6y^6+x^5y^7+x^4y^8+x^3y^9+x^2y^10+xy^11+y^12)
n=14:(x-y)(x+y)(x^6-x^5y+x^4y^2-x^3y^3+x^2y^4-xy^5+y^6)(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6)
n=15:(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)(x^8-x^7y+x^5y^3-x^4y^4+x^3y^5-xy^7+y^8)
n=16:(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)
n=17:(x-y)(x^16+x^15y+x^14y^2+x^13y^3+x^12y^4+x^11y^5+x^10y^6+x^9y^7+x^8y^8+x^7y^9+x^6y^10+x^5y^11+x^4y^12+x^3y^13+x^2y^14+xy^15+y^16)
n=18:(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^6-x^3y^3+y^6)(x^6+x^3y^3+y^6)
n=19:(x-y)(x^18+x^17y+x^16y^2+x^15y^3+x^14y^4+x^13y^5+x^12y^6+x^11y^7+x^10y^8+x^9y^9+x^8y^10+x^7y^11+x^6y^12+x^5y^13+x^4y^14+x^3y^15+x^2y^16+xy^17+y^18)
n=20:(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)(x^8-x^6y^2+x^4y^4-x^2y^6+y^8)

x^n+y^n（n≦20）の因数分解（有理数（もしくは整数）の範囲）は以下の通り。
n=2:x^2+y^2（実数の範囲では因数分解できない）
n=3:(x+y)(x^2-xy+y^2)
n=4:x^4+y^4（実数の範囲では因数分解できない）
n=5:(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)
n=6:(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)
n=7:(x+y)(x^6-x^5y+x^4y^2-x^3y^3+x^2y^4-xy^5+y^6)
n=8:x^8+y^8（実数の範囲では因数分解できない）
n=9:(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^6-x^3y^3+y^6)
n=10:(x^2+y^2)(x^8-x^6y^2+x^4y^4-x^2y^6+y^8)
n=11:(x+y)(x^10-x^9y+x^8y^2-x^7y^3+x^6y^4-x^5y^5+x^4y^6-x^3y^7+x^2y^8-xy^9+y^10)
n=12:(x^4+y^4)(x^8-x^4y^4+y^8)
n=13:(x+y)(x^12-x^11y+x^10y^2-x^9y^3+x^8y^4-x^7y^5+x^6y^6-x^5y^7+x^4y^8-x^3y^9+x^2y^10-xy^11+y12)
n=14:(x^2+y^2)(x^12-x^10y^2+x^8y^4-x^6y^6+x^4y^8-x^2y^10+y^12)
n=15:(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x^8+x^7y-x^5y^3-x^4y^4-x^3y^5+xy^7+y^8)
n=16:x^16+y^16（実数の範囲では因数分解できない）
n=17:(x+y)(x^16-x^15y+x^14y^2-x^13y^3+x^12y^4-x^11y^5+x^10y^6-x^9y^7+x^8y^8-x^7y^9+x^6y^10-x^5y^11+x^4y^12-x^3y^13+x^2y^14-xy^15+y^16)
n=18:(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)(x^12-x^6y^6+y^12)
n=19:(x+y)(x^18-x^17y+x^16y^2-x^15y^3+x^14y^4-x^13y^5+x^12y^6-x^11y^7+x^10y^8-x^9y^9+x^8y^10-x^7y^11+x^6y^12-x^5y^13+x^4y^14-x^3y^15+x^2y^16-xy^17+y^18)
n=20:(x^4+y^4)(x^16-x^12y^4+x^8y^8-x^4y^12+y^16)

ttp://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/factor/factor.htm

参照：因数定理
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86