正規数

無限小数表示において数字が一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質を持つ実数。
長さが同じ文字列たちが漸近的に同じ頻度で現れる場合にその無限列を正規と呼ぶ。
例えば、二進列（0,1 の列）が正規であるとは、0 と 1 が 1/2 ずつの頻度で現れ、00,01,10,11 が 1/4 ずつの頻度で現れ、
000,001,010,011,100,101,110,111 が 1/8 ずつの頻度で現れ、…（以下同様に続く）ということを意味する。

r を 2 以上の整数とし、x を実数とした場合、x を r 進法で無限小数表示したときの小数点以降の文字列（この場合は数字の列）が正規であるとき、
x は r 進正規数、もしくは基数 r に関して正規数であると言う。また、x が任意の r に対して r 進正規数であるとき、x を単に正規数と呼ぶ。

当然、無限列は正規か正規でないかのいずれかである。
一方、実数については、ある r に対しては r 進正規であるのに、別の s に対しては s 進正規ではない、ということがあり得る（Cassels,J.W.S. 1959）。
任意の r 進正規数が s 進正規数でもあるためには log r / log s が有理数であることが必要十分である（Schmidt,W. 1960）。

定義より明らかなように、正規数の無限小数表示の中には任意の文字列が現れる。
デジタルデータを二進数だとみなせば、二進正規数にはあらゆるデータが含まれると考えることができる。
しかし逆は成り立たず、任意の文字列が現れるからといって正規とは限らない。

有理数はいかなる基数に関しても循環小数なので、定義より明らかに正規ではない。
非正規数の集合はルベーグ零集合であるのである意味「小さい」が、非可算無限集合であるのでその意味では十分「大きい」とも言える。
実際、例えば十進小数表示において 5 を含まない実数は明らかに非正規であり、そのような数は非可算無限個存在する。

正規列に対して、有限個の文字を加えたり取り除いたり変更したりといった操作をしても、正規列のままである。
この事実は文字列の正規性の定義より明らかである。故に正規数の定義において、小数点より前の部分を含めるか否かは本質的ではない。
x が r 進正規数かつ q が有理数であるとき、qx は r 進正規数である (Wall,D.D. 1949)。

文字列が正規であることは、以下のように定義をやや修正した条件を満たすことと同値である。
「自然数 k に対して、文字列を k 個ずつのブロックに区切る（無限列 S に対して、最初のブロックは S [1 … k]、次のブロックは S [k+1 … 2k] のように）。
これらのブロックたちにおいて、長さが k の文字列たちが漸近的に同じ頻度で現れる、という性質を任意の k に対して満たす。」

正規より弱い概念として、単正規がある。r 進単正規数とは、r 進小数表示において各数字が 1/r の割合で現れる実数のことである。
また、r 進正規数であることと、任意の自然数 k に対して基数 r(k) に関する単正規数であることは同値である。
従って、正規数であることと、全ての基数に関して単正規であることは同値である。

正規数の概念はボレル（Émile Borel）によって導入された（1909年）。
ボレルは「ほとんど全ての」実数は正規数であることを証明した（同年）。
正確に述べると、2 以上の任意の整数 r に対して r 進正規でない数の集合はルベーグ零集合（ルベーグ測度が 0 である集合）である。
可算個のルベーグ零集合の和集合はやはりルベーグ零集合であるから、正規でない数の集合もルベーグ零集合である。
この事実から正規数が存在することが従うが、その例はシェルピンスキー（Wacław Sierpiński）によって初めて与えられた（1917年）。

チャンパーノウン定数（0.1234567891011121314151617…）は、十進小数表示において自然数が順に連なっている実数である。
これは基数 10 に関して正規であるが (Champernowne,D.G. 1933)、他の基数に関しては正規か否かわかっていない。
一般に、r 進法に関するチャンパーノウン定数 C(r) は、基数 r に関して正規である。
また、コープランド-エルデシュ定数（0.235711131719232931374143…）は、十進小数表示において素数が順に連なっている実数であり、
これもまた基数 10 に関して正規である (Copeland,A.H. and Erdős,P. 1946）。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

参照（語彙）：
ルベーグ零集合
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Null_set
チャンパーノウン定数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%8E%E3%82%A6%E3%83%B3%E5%AE%9A%E6%95%B0
コープランド-エルデシュ定数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89-%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%87%E3%82%B7%E3%83%A5%E5%AE%9A%E6%95%B0

参照（過去の日記）：非正規数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=611420585&owner_id=14882521