ペアノの公理

自然数全体を公理化したもの。ジュゼッペ・ペアノ（Giuseppe Peano）によって定義された（1891年）為、現在の名にいたる。

次の性質を持つ集合 N を考える。
１．0 という要素がある。
２．集合 N の任意の要素 a に対し a にはその後者（successor）、suc(a) が存在する。
３．異なる要素 a,b は異なる後者を持つ。suc(a) ≠ suc(b) のとき a ≠ b である。
４．0 はいかなる要素の後者でもない。即ち要素 suc(a) ＝ 0 となる要素 a は存在しない。
５．0 、a 、suc(a) がある性質を満たすとき、全ての要素はその性質を満たす。
このとき N を自然数の集合と言い、N の要素を自然数という。
５番目の公理は、数学的帰納法の原理である。

また、suc(a) は a+1 の意味であり、0 と 1 と + と ( ) が組み合わさったものを要素とする集合
{0,0+1,(0+1)+1,((0+1)+1)+1,…}
がまさに N である。
ここで ( )+1 は，上の公理で作られた N の要素を ( ) 内に記し、さらにそれに２．の対応を施すことを意味する。
つまり、0 が最初でその後は常に次の要素があってそれ以外の余分なものはない集合こそが自然数の集合であることを表している。

0,0+1,(0+1)+1,((0+1)+1)+1,…
を表記の簡便化の為に
0,1,2.3,…
と表記する。

※　画像はペアノ自身による「算術原理」と題する論文で発表されたペアノの公理の原型となる原始命題の原文（1889年）

ttp://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Peano_axioms
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
ttp://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
ttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node85.html
ttp://claesjohnsonmathscience.wordpress.com/article/mathematics-magics-yvfu3xg7d7wt-48/
ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86/（現在リンク切れ）

参照（過去の日記）：グッドスタインの定理
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1845359392&owner_id=14882521