√(1+√(2+√(3+√(4+…)))) の収束証明

√(1+√(2+√(3+√(4+…)))) が収束する証明としては以下の通り。

先ず、
　a(n) = √(1+√(1+√(1+√(1+…+√1)))) （1がn個）
　b(n) = √(1+√(2+√(3+√(4+…+√n))))
と置く。
数列 {a(n)} はφ（黄金比）に収束する。
　√(1+√(1+√(1+√(1+…+√1)))) = φ ‎≈ 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628…
数列 {b(n)} は単調増加である。
　√(1) = 1
　√(1+√(2)) ‎≈ 1.5537739740300373073441589530631469481645834994103078…
　√(1+√(2+√(3))) ‎≈ 1.7122650649295326242302679779342230870015699173988969…
　√(1+√(2+√(3+√(4)))) ‎≈ 1.7487627132551437866964866764318493705517606065466669…
　…
ここで
　a(n) = √(1+√(1+√(1+√(1+…+√1))))
の両辺に √2 を掛けると、
　(√2) a(n) = √(2+√(4+√(16+√(256+…+√(2^(2^(n-1)))))))
これより、
　b(n) = √(1+√(2+√(3+√(4+…+√n)))) ＜ √(2+√(4+√(16+√(256+…+√(2^(2^(n-1))))))) = (√2) a(n) = (√2)φ
従って、
　b(n) ＜ (√2)φ （≈ 2.2882456112707371904002911343212083061446135073510824…）
から、単調増加数列 {b(n)} は有界で n→∞ のとき収束する。q.e.d.

尚、√(1+√(2+√(3+√(4+…)))) の具体的な値は知られていない。

ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/3698_i7.htm

参照（過去の日記）：
黄金比
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=616201459&owner_id=14882521
ラマヌジャンの平方根入れ子構造問題
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1880913450&owner_id=14882521