カントール関数（悪魔の階段）

カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）によって名づけられた、連続（一様連続）だが絶対連続ではない関数。悪魔の階段とも。
ほとんど至る所で f'(x) = 0 （「平ら」である）なのに、単調増加である。

単位区間 [0,1] のカントール関数 c(x) は以下の形式に従って定義される。
1. x は 3 進数で表記する。
2. もし x に 1 が含まれていたら、最初の 1 より後を 0 に置き換える。
3. 全ての 2 を 1 に置き換える。
4. 得られた結果を 2 進数としてみなす。結果が c(x) となる。
例えば、
・1/4 は 3 進数で 0.02020202… になるが、1 が含まれていないので、次に 0.01010101… と置き換える。この時 2 進数では 1/3 で、c(1/4) = 1/3 である。
・1/5 は 3 進数で 0.01210121… になるが、最初の 1 より後を 0 に置き換えることで 0.01000000… が導出される。この時 2 進数では 1/4 で、c(1/5) = 1/4 である。
・200/243 は 3 進数で 0.211012222… になるが、最初の 1 より後を 0 に置き換えることで 0.210000000… が導出される。次にこれを 0.11 と置き換える。この時 2 進数では 3/4 で、c(200/243) = 3/4 である。

カントール関数 C を写像として捉えた場合、段階を k 、その長さを l(Ck) とすると、
l(Ck) = 水平な部分 + 斜めの部分
= 1/3 + 2/9 + … + (2^(k-1)/(3^k)) + (2^k)√((1/(3^k))^2 + (1/(3^k)^2))
= (1/3) * ((1 - (2/3)^k)/(1 - 2/3)) + √((2/3)^(2k) + 1)
から、
カントール関数の長さ l(C) は
l(C) = (1/3)*(1/(1 - (2/3))) + √1 = 2
である。

※　図はカントール関数（左図）と段階増加よる近似（右図）を示したもの。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function
ttp://mathworld.wolfram.com/CantorFunction.html
ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~asuke/works/curves_presentation.pdf

参照（語彙）：
一様連続
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E9%80%A3%E7%B6%9A
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Uniformly_continuous
絶対連続
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E9%80%A3%E7%B6%9A
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_continuity

参照（関連サイト）：
カントール集合
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set
ttp://mathworld.wolfram.com/CantorSet.html
ミンコフスキーの疑問符関数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%96%91%E5%95%8F%E7%AC%A6%E9%96%A2%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski's_question-mark_function

参照（過去の日記）：
ゲオルク・カントール
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=727572150&owner_id=14882521
ほとんど全て
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1401429856&owner_id=14882521
位相幾何学者の正弦曲線
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1707330071&owner_id=14882521