ベルンハルト・リーマン（Georg Friedrich Bernhard Riemann）によって提唱された、リーマンゼータ関数の零点の分布に関する予想。数学における最も重要な未解決問題の一つ。
概要は以下の通り。
ゼータ関数を次のように定義する。
ζ(s) = 1 + 1/(2^s) + 1/(3^s) + 1/(4^s) + … = ��[n=1,∞] 1/(n^s) （但し、s は複素数）
リーマンは自身の論文の中で、複素数全体 (s≠1) へリーマンゼータ関数を拡張した場合、
ζ(s) の自明でない零点（ζ(s) = 0 となる点） s は、全て s の実部が 1/2 の直線上に存在する。
と予想した（1859年）。
ここに、自明な零点とは負の偶数（-2, -4, -6, …）のことである（解析接続によって ζ(s) = 0 が得られる）。
自明でない零点は 0 ＜ Re(s) ＜1 （但し、Re(s) は 複素数 s の実部を示す記号）の範囲にしか存在しないことが知られており（1859年）、この範囲をクリティカル・ストリップといい、
また Re(s) = 1/2 の直線をクリティカル・ラインという。
ハーディ（Godfrey Harold Hardy）とリトルウッド（John Edensor Littlewood）は Re(s) = 1/2 上に零点が無限に存在することを示した（1914年）。
ヒュー・モンゴメリー（Hugh Montgomery）と物理学者フリーマン・ダイソン（Freeman John Dyson）が、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、原子核のエネルギー間隔を表す式と一致する事を示し（1972年）、素数と核物理現象との関連性が示唆された。以降物理学者も含めてリーマン予想の研究が活発化する。
虚部が小さい方から10兆個までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており（X. Gourdon and P. Demichel, 2004年）、現在までにまだ反例は知られていない。
ルイ・ド・ブランジュ（Louis de Branges de Bourcia）は4度目のリーマン予想の「証明」を発表した（2009年）。
※ 図はそれぞれリーマンゼータ関数を示したもの。詳細は以下の通り。
左図：リーマンゼータ関数 ζ(1/2 + ix) の実部（赤色）と虚部（青色）を表したもの。自明でない零点が x ≈ ±14.135, ±21.022, ±25.011 に現れる。
中央図：リーマンゼータ関数の絶対値
右図：複素数平面におけるリーマンゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点は零点である。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis
ttp://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html
参照（語彙）：
リーマンゼータ関数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
ttp://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_constant
解析接続
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_continuation
ttp://mathworld.wolfram.com/AnalyticContinuation.html
零点（f(a) = 0 となる a のこと、多項式の零点を記述する場合には根とも）
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E7%82%B9
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zero_(complex_analysis)
ttp://mathworld.wolfram.com/Root.html
極（f(a) = ∞ となる a のこと）
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Pole_(complex_analysis)
ttp://mathworld.wolfram.com/Pole.html
参照（関連サイト）：
ゼータ関数の零点の分布
ttp://homepage3.nifty.com/y_sugi/pr/pr51.htm
ゼータ関数と解析接続
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/346_zeta.htm
NHKスペシャル「魔性の難問 〜リーマン予想・天才たちの闘い〜」
ttp://www.nhk.or.jp/special/onair/091115.html
参照（過去の日記）：
調和級数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=651757161&owner_id=14882521
1+1+1+1+… , 1-1+1-1+… , 1+2+3+4+… , 1-2+3-4+… , 1+2+4+8+… , 1-2+4-8+… の極限値
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=662705071&owner_id=14882521
調和数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1602971444&owner_id=14882521
素数定理
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1693720109&owner_id=14882521
スキューズ数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1693847625&owner_id=14882521
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