結合法則

二項演算における結合の順序に関する性質の一つ。結合則、結合律あるいは演算の結合性とも。
ひとつの数式中で演算が一度よりも多く行われるとき、その演算を評価する順番に関わらず結果が同じになるような演算は結合的であるといわれる。
定義としては、集合 S に二項演算 ･ が定義されているとき、
a･(b･c) = (a･b)･c
が S の任意の元 a,b,c について成り立てば、この二項演算は結合的である、あるいは結合法則を満たすという。

結合法則を満たす例（結合的な体）としては以下の通り。
・実数の加法や乗法
　(x+y)+z ＝ x+(y+z) ＝ x+y+z
　(xy)z ＝ x(yz) ＝ xyz
　但し、x,y,z ∈ R
・複素数および四元数の加法や乗法、八元数の加法
・最大公約数や最小公倍数
　gcd(gcd(x,y),z) ＝ gcd(x,gcd(y,x)) ＝ gcd(x,y,z)
　lcm(lcm(x,y),z) ＝ lcm(x,lcm(y,x)) ＝ lcm(x,y,z)
　但し、x,y,z ∈ Z
・行列
・ドット積
・積集合や和集合
　(A∩B)∩C ＝ A∩(B∩C) ＝ A∩B∩C
　(A∪B)∪C ＝ A∪(B∪C) ＝ A∪B∪C
・関係の合成（この特別の場合が写像の合成）
・ブール代数
　(x∧y)∧z ＝ x∧(y∧z)
　(x∨y)∨z ＝ x∨(y∨z)

結合法則を満たさない例（非結合的な体）としては以下の通り。
・減法や除法
　(5-3)-2 ≠ 5-(3-2)
　(4/2)/2 ≠ 4/(2/2)
・冪（累乗）
　2^(1^2) ≠ (2^1)^2
・一般に無限和（無限級数）では成り立たない
　(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+… ＝ 0
　1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+… ＝ 1
・クロス積
・八元数の乗法
・差集合
　(A＼B)＼C ≠ A＼(B＼C)
　※　画像左側ベン図は (A＼B)＼C、右側ベン図は A＼(B＼C)
・リー代数
・ジョルダン代数

結合法則を満たすマグマ（演算が閉じている代数的構造）を半群（結合的マグマ）という。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Associativity
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Associative_algebra
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Non-associative_algebra
ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87/

参照（語彙）：
マグマ
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Magma_(algebra)
半群
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Semigroup
代数的構造
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure
体
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)
リー代数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra
ジョルダン代数
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_algebra

参照（関連サイト）：
分配法則
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Distributivity
ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87/
交換法則
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Commutativity
ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87/
交代性
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Alternativity
冪結合性
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Power_associativity

参照（過去の日記）：
超複素数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=646818300&owner_id=14882521
群・環・体
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=730576865&owner_id=14882521