円積問題

「与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと同じ面積の正方形を作図することができるか」という問題。「円の正方形化」とも呼ばれる。
この問題は有理数体から出発して、体のある元の平方根を追加して新しい体を得るという操作の有限回の繰り返しで円周率を含むような体が得られるか、と言い換えることができる。
円周率が超越数であることがリンデマン（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）によって示されたことにより、円積問題は実現不可能だと証明された（1882年）。
一方、コンパスや定規以外の道具を用いて円を正方形化することや、コンパスと定規のみを用いて近似的な解を作図する方法が多く知られている。

与えられた円と等しい面積の正方形を作図するためには、単位長さに対しての長さを作図することが必要となる。
√π が代数的数（代数方程式の解となる複素数）ではなく超越数であることを示すことによって円積問題の不可能性が示される。
実際、作図可能な数は代数的数になるので、円の正方形化が可能ならば円周率は代数的数だということになってしまう。
また、円の正方形化の可能性は正方形の円化の可能性と同値なので、こちらの不可能性も示されたことになる。

制限を緩めて、コンパスや定規を仮想的に無限回使うことを認めたり、ある種の非ユークリッド空間で作図することを認めたりした場合には、円積問題の作図は可能になる。
例えば、ユークリッド空間では正方形化は不可能な一方、ガウス・ボヤイ・ロバチェフスキーが提唱した双曲幾何学の空間では正方形化が可能となる。

ロバート・ディクソン（Robert Dixon）は、小数点以下4桁の精度にすぎないがコハニスキの近似（Kochański's approximation）といわれる次の近似を用いて作図した（1991年）。
π ≈ √((40/3) - (2√3)) = 3.14153333870509461863639822…

n次元の円積問題や、円の正三角形化についても作図不能である。

※　左画像：同じ面積を持つ円と正方形、中央画像：影の部分の面積と三角形ABCの面積が等しい（部分的な解がいくつか発見されたこともあり、長年にわたって円積問題への肯定的な見込みが抱かれていた。）、右画像：コハニスキの近似を用いて作図した近似的な解

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E7%A9%8D%E5%95%8F%E9%A1%8C
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle
ttp://mathworld.wolfram.com/CircleSquaring.html
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1278_f4.htm

参照（関連サイト）：ギリシアの三大作図問題
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge_constructions
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_impossibility#Three_impossible_constructions