1 からある正の整数までの自然数の逆数和のこと。
即ち、n 番目の調和数 Hn とは
Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n = ��[k=1,n] 1/k
である。
調和数の極限は調和級数と呼ばれ（しばしば調和級数の中に調和数を含めて呼ばれる）、リーマンゼータ関数と近い関係にある。
調和数を小さい順から列挙したものは以下の通り。
1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520, 83711/27720, 86021/27720, 1145993/360360, 1171733/360360, 1195757/360360, 2436559/720720, 42142223/12252240, 14274301/4084080, 275295799/77597520, 55835135/15519504, 18858053/5173168, 19093197/5173168, 444316699/118982864, 1347822955/356948592, 34052522467/8923714800, 34395742267/8923714800, 312536252003/80313433200, 315404588903/80313433200, 9227046511387/2329089562800, 9304682830147/2329089562800, 290774257297357/72201776446800 …
相異なる番号の調和数同士の差は決して整数にはならない。また、n = 1 を除いてどの調和数 Hn も整数ではない。
調和数の積分表示
Hn = ∫[0,1] (1-x^n)/(1-x) dx
はオイラーによる。
Hn の増大度は n の自然対数 ln(n) と同程度の速さである。
このことは、Hn を積分
∫[0,n] dx/x （= ln(n)）
で近似することによって確認できる。
数列 (Hn - ln(n)) は単調に減少して、
lim(n→∞) Hn - ln(n) = γ
となる定数（オイラー・マスケローニ定数、およそ 0.5772156649…）を極限にもつ。
これから、Hn の漸近展開は
Hn = ln(n) + γ + (n^-1)/2 - (n^-2)/12 + (n^-4)/120 + O(n^-6) （但し、O はランダウ記号）
で与えられる。
Hn > a となる最初の調和数 Hn の n を列挙したものは以下の通り。
a = 0 : n = 1
a = 1 : n = 2
a = 2 : n = 4
a = 3 : n = 11
a = 4 : n = 31
a = 5 : n = 83
a = 6 : n = 227
a = 7 : n = 616
a = 8 : n = 1674
a = 9 : n = 4550
a = 10 : n = 12367
a = 11 : n = 33617
a = 12 : n = 91380
a = 13 : n = 248397
a = 14 : n = 675214
a = 15 : n = 1835421
a = 16 : n = 4989191
a = 17 : n = 13562027
a = 18 : n = 36865412
a = 19 : n = 100210581
a = 20 : n = 272400600
a = 21 : n = 740461601
a = 22 : n = 2012783315
a = 23 : n = 5471312310
a = 24 : n = 14872568831
a = 25 : n = 40427833596
a = 26 : n = 109894245429
a = 27 : n = 298723530401
a = 28 : n = 812014744422
Hn > 10^b となる最初の調和数 Hn の n を列挙したものは以下の通り。
b = 0 : n = 2
b = 1 : n = 12367
b = 2 : n = 15092688622113788323693563264538101449859497
Hn > m （但し、m≫1 , m∈N）となる最初の調和数 Hn の n は
n ≈ e^(m-γ)
として近似値を表すことができる。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
ttp://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
ttp://oeis.org/A001008
ttp://oeis.org/A002805
ttp://oeis.org/A002387
ttp://oeis.org/A082912
参照（語彙）：リーマンゼータ関数（ζ(1)のとき調和級数となる）
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
ttp://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
参照（関連サイト）：Wolstenholme number（調和数の分子）
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha126.htm
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha127.htm
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha128.htm
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha1281.htm
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha1282.htm
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/matha1/matha1283.htm
参照（過去の日記）：
調和級数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=651757161&owner_id=14882521
オイラー・マスケローニ定数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1229077262&owner_id=14882521
参照（未来の日記）
リーマン予想
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1777999058&owner_id=14882521
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