ほとんど全て

「測度 0 の集合（零集合）を除いて」という意味。
無限集合が背景にあり、有限集合同士の差集合や補集合に対しては用いない。
しばしば、測度論では「ほとんど至るところで」、確率論では「ほとんど確実に」の意味で用いられる。

主に数論等で用いられる用法としては以下の通り。

第1に、「有限個の…を除いて」という意味で用いられる。
例えば、「自然数 n はほとんど全ての素数と互いに素である」といった場合、
それは「n と互いに素ではない素数（即ち n を割り切る素数）は高々有限個しかない」という意味である。
もしも素数が元々有限集合であったならば、「ほとんど全ての」とは表現しない。
他の例としては、ほとんど全ての素数は交互階乗ではない。
これは素数である交互階乗の個数が有限だからである。

第2に、ある性質を持つ自然数の「割合」が 1 であることを意味する。
より正確に述べるならば、x 以下で性質 P を持つ自然数の個数を P(x) で表したとき、
lim(x→∞) P(x)/x ＝ 1
である場合に、「ほとんど全ての自然数は性質 P を持つ」という。
例えば素数定理より、（素数は無数に存在するにもかかわらず）ほとんど全ての自然数は合成数である。
他の例としては、ほとんど全ての自然数はノントーティエントである。
これは、ノントーティエントの集合は密度 1 を持つためである。

第3に、ある性質を満たさない実数（あるいは有理数、複素数など）の集合の測度（通常ルベーグ測度が使われる）が 0 である場合に用いられる。
f をディリクレの関数とすると、ほとんど全てが f(x) ＝ 0 である。その一方、f(x) ≠ 0 なる x も無数に存在する。
これは、可算無限集合である Q はルベーグ測度に関して零集合であることによる。
他の例としては、ほとんど全ての実数（あるいは複素数）は超越数である。
これは、実数（あるいは複素数）全体の集合が非可算集合である一方で代数的数全体の集合が可算無限集合だからである。
別の例としては、ほとんど全ての実数は正規数である。
これは、非正規数の集合は濃度としては正規数と同じ連続体濃度ではあるが、ルベーグ零集合だからである。
同じような例としては、ほとんど全ての実数は非リウヴィル数である。
これも、リウヴィル数の集合は濃度としては非リウヴィル数と同じ連続体濃度ではあるが、ルベーグ零集合だからである。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%BB%E3%81%A8%E3%82%93%E3%81%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Almost_all
ttp://mathworld.wolfram.com/AlmostAll.html

参照（関連サイト）：
ほとんど至るところで
ttp://mathematics.web.infoseek.co.jp/pdf/measure.pdf
カントール集合
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set

参照（語彙）：
ルベーグ零集合
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Null_set
超越数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

参照（過去の日記）：
非正規数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=611420585&owner_id=14882521
正規数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=656013079&owner_id=14882521
ノントーティエント
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=746011305&owner_id=14882521
交互階乗
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1126459223&owner_id=14882521
リウヴィル数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1306745535&owner_id=14882521

参照（未来の日記）：
ディリクレの関数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1419674425&owner_id=14882521
ソート（ボゴソート）
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1668462451&owner_id=14882521
カントール関数（悪魔の階段）
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1792074134&owner_id=14882521
測度
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1869813072&owner_id=14882521