(10^n)! の桁数

(10^n)! の桁数 d を挙げたものは以下の通り。
n = 1 : d = 7
n = 2 : d = 158
n = 3 : d = 2568
n = 4 : d = 35660
n = 5 : d = 456574
n = 6 : d = 5565709
n = 7 : d = 65657060
n = 8 : d = 756570557
n = 9 : d = 8565705523
n = 10 : d = 95657055187
n = 11 : d = 1056570551816
n = 12 : d = 11565705518104
n = 13 : d = 125657055180975
n = 14 : d = 1356570551809683
n = 15 : d = 14565705518096757
n = 16 : d = 155657055180967491
n = 17 : d = 1656570551809674827
n = 18 : d = 17565705518096748182
n = 19 : d = 185657055180967481734
n = 20 : d = 1956570551809674817246
n = 21 : d = 20565705518096748172360
n = 22 : d = 215657055180967481723501
n = 23 : d = 2256570551809674817234900
n = 24 : d = 23565705518096748172348884
n = 25 : d = 245657055180967481723488724
n = 26 : d = 2556570551809674817234887122
n = 27 : d = 26565705518096748172348871095
n = 28 : d = 275657055180967481723488710826
n = 29 : d = 2856570551809674817234887108124
n = 30 : d = 29565705518096748172348871081099
n = 31 : d = 305657055180967481723488710810850
n = 32 : d = 3156570551809674817234887108108356
n = 33 : d = 32565705518096748172348871081083412
n = 34 : d = 335657055180967481723488710810833967
n = 35 : d = 3456570551809674817234887108108339510
n = 36 : d = 35565705518096748172348871081083394937
n = 37 : d = 365657055180967481723488710810833949196
n = 38 : d = 3756570551809674817234887108108339491790
n = 39 : d = 38565705518096748172348871081083394917726
n = 40 : d = 395657055180967481723488710810833949177077
n = 41 : d = 4056570551809674817234887108108339491770582
n = 42 : d = 41565705518096748172348871081083394917705625
n = 43 : d = 425657055180967481723488710810833949177056052
n = 44 : d = 4356570551809674817234887108108339491770560322
n = 45 : d = 44565705518096748172348871081083394917705603018
n = 46 : d = 455657055180967481723488710810833949177056029966
n = 47 : d = 4656570551809674817234887108108339491770560299444
n = 48 : d = 47565705518096748172348871081083394917705602994221
n = 49 : d = 485657055180967481723488710810833949177056029941989
n = 50 : d = 4956570551809674817234887108108339491770560299419659
…

上記のように、桁数の最上位には n-1 が現れ、その後の数字の並びは 5657055180… が続いている。
理由としては以下の通り。
スターリングの公式 x! ≈ (2πx)^(1/2) * (x/e)^x （x≫0） より、x = 10^n （n = log(x)） と置き、常用対数をとると、
log((2π*10^n)^(1/2) * ((10^n)/e)^(10^n))
= log((2π)^(1/2) * 10^(n/2) * ((10^n)/e)^(10^n))
= log((2π)^(1/2)) + log(10^(n/2)) + log((10^n)/e)^(10^n)
= log((2π)^(1/2)) + n/2 + (10^n)*(log((10^n)/e))
= log((2π)^(1/2)) + n/2 + (10^n)*(n-log(e))
となる。
ここで、log((2π)^(1/2)) （≈ 0.399089934179057524782503591507） や n/2 は小さい（n=100 でも 50）為、
従って、(10^n)! の桁数 d はおよそ (10^n)*(n-log(e)) になる。
更に、この (10^n)*(n-log(e)) を少し変形すると (10^n)*((n-1)+(1-log(e))) （= (10^n)*((n-1)+(1-1/ln(10)))） となる。
これにより 1-log(e) ≈ 0.565705518096748172348871081083… であることから、桁数の最上位には n-1 が現れ、その後の数字の並びは 5657055180… が続くことになる。

実際に (10^n)! を計算したもの及びその桁数 d は以下の通り。
n = 1 : (10^1)! = 10! = 3628800 : d = 7
n = 2 : (10^2)! = 100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 : d = 158
n = 3 : (10^3)! = 1000! = 402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 : d = 2568
…

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%81%AE%E8%BF%91%E4%BC%BC
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation
ttp://deztec.jp/x/05/faireal/faireal-26-index.html#d40121

参照（語彙）：
階乗
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Factorial
常用対数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%AF%BE%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Common_logarithm