長さが 1 である線分を平面上で連続的に一回転させるのに必要な最小面積の図形を求める問題。
凸領域（凸図形）の場合、
・直径が 1 の円では、面積は (1/4)π 〜 0.785398163
・ルーローの三角形では、面積は (π-√3)/2 〜 0.704770923
・高さが 1 の正三角形では、面積は (√3)/3 〜 0.577350269
となる（参照：左画像）。
凸領域となる最小の領域 K は、高さが 1 の正三角形（面積(√3)/3）であることが藤原松三郎によって予想され、パル（ハンガリー）によって証明された（1921年）。
星形領域の場合、
・デルトイド（内サイクロイドの一）では、面積は π/8 〜 0.392699082
となる（参照：中央画像左から1番目）。
単連結（孔のない有界な図形）となる最小の領域 K は、掛谷自身を含む多くの数学者がこのデルトイド（面積π/8）ではないかと予想していた。
ところが、デルトイドが 3 個の尖点をもっていることに着目すると、5 個の尖点、7 個の尖点、…をもつ図形を考えることができ、
デルトイドより面積が小さい図形が考えだされた（参照：中央画像左から2〜4番目）。
例えば、2n+1 個の尖点と円弧をもち、図形全体が内接している円に直交している星状領域（面積：Sn）を考えると、
n→∞ のとき Sn → (5-2√2)π/24 が示される。
このようにして、単連結となる最小の星状領域はデルトイド（面積π/8）ではなく、別の星状図形であることがブルームとシェーンベルグにより発見された（1963年）。
その後、カニンガムによって、δを中心から長さ 1 の線分までの垂直距離とすると、π/108 ≦ 1/27��arcsin6δ であることより、
与えられた最小の星形集合の面積の下限は π/108 と (5-2√2)π/24 の間にあることが示された（1971年）。
即ち、尖点の個数を増やしたとしても面積を際限なく減らすことは不可能で、
その面積の下界（lower bound）は π/108 、また上界（upper bound）は (5-2√2)π/24 であることを意味する。
π/108 ≦ K ≦ (5-2√2)π/24
非単連結図形の場合、ベシコヴィッチ（ロシア）が「ペロンの木」（参照：右画像）と呼ばれる図形操作と巧妙な平行移動を使って、
「長さ 1 の線分を回転できるいくらでも面積の小さい平面図形（ルベーグ測度 0 の平面集合）が存在する」ことを証明した（1928年）。
このベシコヴィッチによる掛谷問題の解は、フェファーマンにより多変数フーリエ級数の収束問題に応用された（1971年）。
その後、単連結図形の場合においても、カニンガムによって与えられた最小の単連結図形 K の面積は再び 0 であることが証明された。
上記を纏めると、掛谷問題の解は、
・凸領域（凸図形）での面積：K ＝ (√3)/3
・星形領域での面積：π/108 ≦ K ≦ (5-2√2)π/24
・単連結図形での面積：K ＝ 0
となる。
2次元ユークリッド空間内の有界な閉集合 K で、あらゆる方向の長さ 1 の線分を含み、その面積が 0 となるようなものを2次元掛谷集合という。
一般に、d次元ユークリッド空間内の有界な閉集合 K で，あらゆる方向の長さ 1 の線分を含み、そのd次元ルベーグ測度が 0 となるようなものをd次元掛谷集合という。
デーヴィスは「2次元掛谷集合のハウスドルフ次元は 2 である」ことを証明した（デーヴィスの定理、1971年）。
また、「d次元（但しd＞2）掛谷集合のハウスドルフ次元は何か」という問いには d ではないかと予想されているが、未解決である（掛谷予想）。
名前は提唱者である掛谷宗一にちなむ。矢野健太郎が発案したきっかけを掛谷に尋ねたところ、掛谷は
「昔の武士はいつ襲ってくるかもしれない不意の敵に備えて、かわやに入るときでも刀を身から離さなかった。
もし襲撃されたら狭いかわやの中で刀を振り回さなければならなくなる。そこで刀を１回転させることのできるかわやの最小体積はどうなるかと考えた。」
と答えたという（矢野健太郎『ゆかいな数学者たち』新潮文庫）。
ttp://www4.ocn.ne.jp/~arai/semi208/KakeyaProblem.html
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/871_k.htm
ttp://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tachizaw/kakeya.html
参照（語彙）：
単連結
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space
掛谷宗一
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%9B%E8%B0%B7%E5%AE%97%E4%B8%80
ベシコヴィッチ
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Abram_Samoilovitch_Besicovitch
参照（関連サイト）：デルトイドの幾何学
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/399_d2.htm
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/456_delta7.htm
参照（未来の日記）：ソファー移動問題
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1927010369&owner_id=14882521
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