多冪数

正の整数nで、素数pがnを割り切るときに、必ずpの平方がnを割り切るものをいう。
エルデシュ（Paul Erdős）とGeorge Szekeresがこの形の数を研究したが、
Solomon W. Golombがはじめてこの形の数を多冪数と名づけた。

多冪数を小さい方から列記したものは以下の通り。
1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,72,81,100,108,121,125,128,144,169,196,200,216,225,243,256,288,289,324,343,
361,392,400,432,441,484,500,512,529,576,625,648,675,676,729,784,800,841,864,900,961,968,972,1000,…

多冪数を素因数分解すると、現れる指数は常に1より大きくなる。
また、aとbが正の整数であるとき、bが平方因子を持たないという条件の下では、多冪数は (a^2)(b^3) の形に一意的に表される。

多冪数の逆数の和は、
Π(p) (1+1/(p(p-1))) = ζ(2)ζ(3)/ζ(6) = (315/(2(π^4)))ζ(3) 〜 1.943596436820759205057070362574…
（pは全ての素数を走る）に収束する（Solomon W. Golomb,1970年）。
※　ζ(s)はベルンハルト・リーマンのゼータ関数

k(x)を1≦n≦xとなる多冪数nの個数とすると、
cx^(1/2) - 3x(1/3) ≦ k(x) ≦ cx(1/2) , c = ζ(3/2)/ζ(3) 〜 2.173254312519554138237089840439…
となる（Solomon W. Golomb,1970年）。

ペル方程式 x^2 - 8y^2 = 1 は無限に多くの自然数解を持つため、
無限に多くの連続する多冪数が存在する（Solomon W. Golomb,1970年）。

奇数や4の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、Solomon W. Golombは
2 = (3^3)-(5^2) , 10 = (13^3)-(3^7) , 18 = (19^2)-(7^3) = (3^2)*((3^3)-(5^2))
など、多冪数の差として表される単偶数の例を示す一方、6はそのように表すことはできず、
他にも多冪数の差として表すことができない無限に多くの数が存在すると予想した。
ところが、Narkiewiczは 6 = (5^4)*(7^3)-(463^2) など、6は多冪数の差として無限に多くの方法で表されることを示し、
McDanielは全ての整数は互いに素な多冪数の差として無限に多くの方法で表されることを示した（1982年）。

エルデシュ（Paul Erdős）は十分大きな全ての整数は高々3つの多冪数の和として表されると予想したが、
これはRoger Heath-Brownによって証明された(1987年)。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%86%AA%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Powerful_number
ttp://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html

参照（語彙）：
Bose-Einstein condensate：ζ(3/2) 〜 2.612375348685488343348567567924…
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Bose–Einstein_condensate
Basel problem：ζ(2) = (π^2)/6 〜 1.644934066848226436472415166646…
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
Apéry's constant：ζ(3) 〜 1.202056903159594285399738161511…
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Apéry's_constant
ゼータ関数：ζ(6) = (π^6)/945 〜 1.0173430619844491397145179297909…
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ペル方程式
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation

参照（過去の日記）：累乗数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=648194173&owner_id=14882521

参照（未来の日記）：アキレス数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=748037155&owner_id=14882521