デデキント無限

集合 A と同数であるような A の真部分集合 B が存在することを言う。即ち、A と A の真部分集合 B の間には全単射が存在する。
一方、どんな真部分集合との間にも全単射が存在しないような集合は、デデキント有限集合と呼ばれる。集合 A がデデキント無限でなければ、デデキント有限である。
ドイツ人数学者リヒャルト・デデキント（Julius Wilhelm Richard Dedekind）にちなんで名づけられた。

単射だが全射ではない写像 f：S → S が存在するとき、集合 S をデデキント無限集合と呼ぶ。そのような写像は S と S の真部分集合（f の像）との間の全単射を表している。
デデキント無限集合には自然数と全単射的に対応する部分集合が含まれる。デデキント有限集合とは、全ての単射自己写像が全射でもある場合を指す。

19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系からは、その同値性は証明され得ない。
しかし、可算選択公理（弱い形の選択公理）が成り立つなら、集合が（通常の意味の）有限であることとデデキント有限であることは同値である。そうでない場合には（奇異なことに）無限かつデデキント有限な集合が存在し得る。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set

参照（語彙）：
（通常の意味の）有限
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set
可算選択公理
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice

参照（過去の日記）：連続体仮説
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=692020016&owner_id=14882521