恒等写像と対合写像

恒等写像とは、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像のこと。恒等作用素、恒等変換とも。
より厳密には、M を集合として、M 上の恒等写像 f とは、始域および終域がともに M であるような写像であって、M の任意の元 x に対して
f(x) = x
を満たすものを言う。
言葉で書けば、M 上の恒等写像は、M の各元 x に x 自身を対応させて得られる M から M への一つの写像である。

例えば、
・f(x) = 0 + x （0 は加法単位元）
・f(x) = 1 * x （1 は乗法単位元）
は恒等写像である。

M 上の恒等写像はしばしば id(M) や 1(M) などで表される。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%A4%89%E6%8F%9B
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Identity_function
ttp://mathworld.wolfram.com/IdentityFunction.html

対合写像とは、可逆写像の一で、自分自身をその逆として持つ写像である。単に対合とも。
より厳密には、全ての x に対して
f^-1 (x) = f(x)
を満たすものを言う。
これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質
λ(λ(x)) = x
を持つものと表現できる。
但し、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。

例えば、
・反数：ある複素数の反数の反数はもとの複素数自身である（1+7i ⇔ -1-7i）。
・（0 を除いた）逆数：ある複素数の逆数の逆数はもとの複素数自身である（1+7i ⇔ 0.02-0.14i）。
・（対称移動による）鏡映（鏡像）：右手と左手の関係。
・補集合：ある集合の補集合の補集合はもとの集合自身である。
・複素共役：ある複素数の共役複素数の共役複素数はもとの複素数自身である。
は対合写像である。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Involution_(mathematics)
ttp://mathworld.wolfram.com/Involution.html

参照（語彙）：鏡映
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_image