平面充填とは、平面内を有限種類の平面図形（タイル）で隙間なく敷き詰める操作のこと。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。
以下、多角形による平面充填について述べる。
1種類で平面を充填できる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。これらは正平面充填形とも呼ばれる。
全ての平行四辺形は、1種類で平面充填可能である。また全ての三角形は、合同なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となる。従って、全ての三角形は平面充填可能である（左画像）。
全ての合同な平行六辺形（3組の対辺が平行で等しい六角形）は平面敷き詰め可能である。また、平行四辺形以外の全ての四角形は、合同なものを二つ組み合わせることで平行六辺形となる。従って、全ての四角形は平面敷き詰め可能である（中央および右画像）。
平行六辺形は、中心を通る直線で合同な2つの五角形に分けられる。このような五角形は平面敷き詰め可能である。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%85%85%E5%A1%AB
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation
平行移動と反転だけで平面を敷き詰めることができる正多角形は正三角形・正方形・正六角形しかないが、正という条件を外しまた回転も許すことにすると、
1. 非凸図形も含め，どのような三角形・四角形でもタイル貼り可能
2. 五角形・六角形ではタイル貼り可能なものが存在する
3. 七角形以上の凸図形で、タイル貼り可能なものは存在しない
タイル貼り可能な凸六角形について、ラインハルトが正六角形以外では３つのタイプを発表（1918年）し、これ以外に存在しないことが証明されている。
タイル貼り可能な凸五角形については現在14種類のタイプが発見されているが、これら以外に存在しないのかどうかは未解決である。
■タイル貼り巡礼
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/616_t1.htm
■平面充填五角形
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1205_p.htm
■学会見聞録（２つの未解決問題）
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2033_d2.htm
参照（関連サイト）：
５角形による平面充填（その１）
ttp://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/47e567ffd0708c0adc598f7161d4bb55
５角形による平面充填（その２）
ttp://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/c4be18c5a55f90dd8a74578bb24ac378
平面充填凸五角形（type 6）の新しいタイル張り
ttp://www.ism.ac.jp/~sugimoto/pdf/type6KATV15N1J-sb.pdf
充填凸五角形とそのタイル張り模様の系統的研究 ��
ttp://www.ism.ac.jp/~sugimoto/pdf/K-V18N2-CP1-sc.pdf
参照（過去の日記）：
Squaring the square
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=630847519&owner_id=14882521
ペンローズ・タイル
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=749761038&owner_id=14882521
参照（未来の日記）：長方形を切断して同面積の正方形に重ねる為の4つの切片
ttp://mixi.jp/home.pl#!/diary/14882521/1890348442
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