クラス

集合論及びその応用としての数学において、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義される対象のこと。類（るい）とも。
「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。
例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG））では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
（どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。
（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス（proper class）と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス（small class）とも呼ばれる。
例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。

素朴集合論のパラドックスは「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。
厳格な基礎付けの下では、これらはパラドックスなのではなくて、ある種のクラスが真クラスであることの証明を示唆するものであると捉えることができる。
例えばラッセルのパラドックスは「自分自身に属する集合」全体が真クラスになることを示唆するし、ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなるクラスが真クラスであることを示唆している。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)

参照（語彙）：
ツェルメロ＝フレンケル集合論
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo–Fraenkel_set_theory
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory#Axiomatic_set_theory
ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann–Bernays–Gödel_set_theory
素朴集合論
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory

参照（関連サイト）：
モース＝ケリー集合論
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Morse–Kelley_set_theory

参照（過去の日記）：
ラッセルのパラドックス
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=931769391&owner_id=14882521
ブラリ＝フォルティのパラドックス
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=932793729&owner_id=14882521