全ての正の整数 n に対して、0 ＜ |x-(p/q)| ＜ 1/(q^n) を満たす p＞0 且つ q＞1 である整数 p,q が存在する様な無理数 x のこと。
例えば、リウヴィル定数 l = ��(k=1,∞) 10^(-k!) ≈ 0.110001000000000000000001000… はリウヴィル数である。
このことは、p = ��(k=1,n) 10^(n!-k!) 、q = 10^(n!) と置くと、全ての正の整数 n に対して、
|l-(p/q)| = ��(k=n+1,∞) 10^(-k!) = 10^(-(n+1)!) + 10^(-(n+2)!) + … ＜ 10*10^(-(n+1)!) ≦ (10^(-n!))^n = 1/(q^n) となるからである。
この数は、超越数であることが証明された、初めての数である（Joseph Liouville, 1844年）。
性質をいくつか挙げたものは以下の通り。
・超越数である
・0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である
従って、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではないが、例えば以下の数がリウヴィル数ではないことが知られている。
・自然対数の底 e
・円周率 π
・チャンパーノウン定数 0.123456789101112…
・1 ではない、任意の有理数 r に対する、log(r)
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
ttp://mathworld.wolfram.com/LiouvilleNumber.html
参照（語彙）：ルベーグ測度
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure
参照（過去の日記）：
リウヴィル定数
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=615302805&owner_id=14882521
稠密
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=980987980&owner_id=14882521
ログインしてコメントを確認・投稿する