虚数は実在するのか？

二次方程式を最初に習った時、「Ｘ∧２＋１＝０ の解は存在しない」というふうに習ったはずだ。しかし、中学三年生くらいで虚数というものを習うと、その解は Ｘ＝±ｉ であるということになる。
なかにはこのように考える人がいると思う。「最初は知識が足りないから、とりあえず『解なし』としていたが、本当はＸ＝±ｉ とすべきだったのだ。」　つまり、虚数はもともとあったのだが、最初はその存在に気がつかなかったのだ、と。

しかし、ここに少し誤解が生じている。最初の「解なし」も「Ｘ＝±ｉ」もどちらも正しいのである。しかし、それらは別個の概念体系で論じられているのである。

Ｙ＝Ｘ∧２＋１ の数式のグラフを ＸＹ座標による２次平面上で描けば、そのグラフはＸ軸との交点をもたない。つまりＹ＝０となる解は存在しない。ところが虚数を導入するとＸもＹもそれぞれ互いに素な２つの数の組み合わせとなるため、数式Ｙ＝Ｘ∧２＋１ のグラフは、Ｘの実数軸と虚数軸、Ｙの実数軸と虚数軸からなる４本の直交座標による4次元空間上に描かれる複雑な図形になり、Ｘの実数軸と虚数軸からなる平面と交差する点のＸ座標が解となる。

どちらが正しいとかいう問題ではない。そもそも概念体系が違うのである。複素数を２つの数の組み合わせではなく、三つの数の組み合わせにしても良かったかもしれない。合理的な計算方法を定義できればそれも不可能ではない。そういう意味で、虚数ｉが実在するかどうかというようなことはナンセンスである。

数学は矛盾なく定義できさえすれば、どのような体系を作っても良いのである。ただ、それが使えるかどうかとは別問題で、複素数は使い勝手の良い概念であるから、複素関数論は現代数学の中でも大きな領域を占めているわけである。