今回は11以上の素数Nを一辺の大きさとするNxNxN立体の断面のNxN平面上に並ぶ数字が、どの断面についても、汎魔方陣からなる完全立方陣の作り方を示します。
（前回? http://
で提示した、7x7x7の立方陣では、対角面上の
魔方陣が汎魔方陣でないので、完全立方陣では
ありませんでした。）
まず平面での例を先に挙げて、後で３次元での内容を示します。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜まずは２次元での話：ここから
（等幅フォントで御覧ください：MSPゴシックでなく例えばMSゴシック）
以前?http://
で下図のような製法による汎魔方陣を示しました。
（汎対角方向の数字の和も等しい魔方陣です）
8800 4040 0202 1001 1111 14 11 ５ ４
0088 +0404 +0202 +0110 +1111 =１ ８ 10 15
8800 0404 2020 1001 1111 12 13 ３ ６
0088 4040 2020 0110 1111 ７ ２ 16 ９
これを最下行を最上行へという具合に、巡回シフトしても
下図のように対角条件が満足されていることから。
0088 4040 2020 0110 1111 ７ ２ 16 ９
8800 4040 0202 1001 1111 14 11 ５ ４
0088 +0404 +0202 +0110 +1111 =１ ８ 10 15
8800 0404 2020 1001 1111 12 13 ３ ６
●これで下図のように平面にすきまなく反復 充填して敷き詰めた場合には
14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４
１ ８ 10 15 １ ８ 10 15 １ ８ 10 15
12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６
７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９
14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４
１ ８ 10 15 １ ８ 10 15 １ ８ 10 15
12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６
７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９
14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４
１ ８ 10 15 １ ８ 10 15 １ ８ 10 15
◆汎魔方陣なので、どこからででも任意の場所から、
４ｘ４区画をとりだすと、それは魔方陣になっています。
■・・・逆に、下図のように任意の数を中心にして考えた場合は
どの数字を中心に選択しても、その周囲８方向とで
１列に連続して並ぶ、Ｎ個の数字の和はどこでも
すべて一定になります。
10+15+1+８＝3+9+14+８＝13+2+11+８＝12+9+5+８＝34:定和
３ 13 12
９ ２ ９
14 11 ５
10 15 １ ８ 10 15 １
12 13 ３
９ ２ ９
５ 11 14
４方８方、各方位にならぶ、数字の並びは、それぞれ、
中心の数字（上の例では８）を隅や縁に配置した魔方陣の
一部とみなせます。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜２次元の話：ここまで。
・・・・・以上と同様のものを立体でも構成できます・・・・
３次元空間上の格子点の座標(i,j,k)に下記★式の数字を
配置することで、上記と同様に、任意の方向に、連続して
並ぶN個の数字の和が一定になります。
次の★式はＮが11以上の素数で ＮｘＮｘＮの大きさの
完全立方陣をしめします。
★
Ｑ[i][j][k]＝
N*N* mod( i + 2*j +4*k , N)
+ N* mod( 2*i + 4*j + k , N)
+ mod( 4*i + j +2*k , N)
+1
ここで mod(x,N)はｘをNで割った余り。
０≦i,j,k＜Ｎ、Ｎ≧11、Ｎは素数
●この立方陣で３次元空間を透き間無く、充填すると：
◆そのどこからでも任意のＮｘＮｘＮ区画の立方体を
取り出すと、それは立方陣になっています。
■一箇所の数字から、隣接する周囲２６方向いずれに
ついても連続するＮ個の数字の和は等しく一定です。
・・・・★式が完全立方陣である証明は
【１】重複なく１からＮの３乗までの数字から成り立っていること
【２】ΣQ[i][j][k]が、任意のi,j,kの方向について一致すること
この２つを証明していきます。
【１】は次の行列QがＮを法とする剰余系で逆行列を持つことから証明されます。
ここでは３次元の例で説明しますが、何次元でも同様です。
１２４
２４１
４１２
この行列と(i,j,k)の縦ベクトルとの積で
（便宜上、ここでは縦ベクトルを横書きで示します）
Q(i,j,k)=Q(i',J',k')ならば、Q(i-i',j-j',k-k')≡０から
Qの逆行列を両辺にかけて(i-i',j-j',k-k')≡０ ゆえに
(i,j,k)=(i',j',k')よって、異なる(i,j,k)の組み合わせでは
★式が一致することはなく（０≦i,j,k＜Ｎ）の範囲内の
NｘNｘN個の数字は皆異なります。とりうる値の範囲は
１からNxNxNまでなので、この範囲全ての数から成り立っています。
【２】平面の場合と同様に、３次元空間に反復充填した場合を
想定して、どの方位についても連続して並ぶＮ個の数字の和が
等しいことを示します。
(i,j,k)番目の数字Q[i][j][k]に
隣接する(i+α,j+β,k+γ）の位置の数字Q[i+α][j+β][k+γ]
とで、その増減を調べてみると
（ここで、α、β、γは{-1,0,1}のいずれかを示す。
ただし、α、β、γの組み合わせは 全部が０の場合を
除く２６通り。つまり立体上なので（平面でいう四方八方でなく）
１３方２６方向に相当する）
Ｑの増減については、modの各項を個別にみると、
すべて、Ｎと素になる関係の増減である：
（α＋２β＋４γ、２α＋４β＋γ、４α＋β＋２γ）これらは
α、β、γが０または±１の値をとる
（３項同時には０でない）場合には、
いずれも、±１から±７までの値をとり、
これが１１以上の素数Ｎとは、素の関係であるから、
その０倍からＮ−１倍までの間には、
Ｎの剰余系で、０からＮ−１までの数字が全て含まれる。
以上が２６方位の各直線上に並ぶＮ個の連続した数字の和が
一定であることの証明です。
・・・・これでできあがった完全立方陣では、
辺に並行な方向と
各表面に平行な面での対角線
立方体の中心を通って反対側の頂点を通る立体的な対角線
これら以外に、全ての汎対角線方向での和が等しなり
最上段のNxN魔方陣を最下段に巡回シフトしても、
全体が立方陣になっているという具合です。
全ての断面NxN魔方陣が 汎魔方陣で成り立っています。
３次元空間をこの立方陣で充填すれば、どこからNxNxNの
立方体を切り出しても、それが立方陣になっていると
いうことで★式には、Ｃ1,Ｃ2,Ｃ3任意の定数を加えて
（ここで0≦Ｃ1,Ｃ2,Ｃ3＜Ｎ）
★
Ｑ[i][j][k]＝
N*N* mod( i + 2*j +4*k+Ｃ1 , N)
+ N* mod( 2*i + 4*j + k+Ｃ2 , N)
+ mod( 4*i + j +2*k+Ｃ3 , N)
+1
・・・と書きなおしてもいいでしょう。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
製法についての記事を?から連番で11/13現在?まで
連番で示しています。 目次として載せておきます
現在のページを◆で示しておきます。
初めての方は?から順にどうぞ。
・４方陣
? http://
? http://
・５方陣について
? http://
? http://
? http://
・合成数の大きさの方陣
? http://
・立方陣について
４立方陣
? http://
? http://
? http://
８立方陣
? http://
・７以上の素数サイズの立方陣
? http://
・11以上の素数サイズの完全立方陣
?◆http://
・5x5x5,6x6x6の立方陣も存在します。
? http://
・４次元方陣〜Ｍ次元方陣
? http://
・・・追記：上記の式は、Wikipediaにも転載しておきました。
（前回? http://
で提示した、7x7x7の立方陣では、対角面上の
魔方陣が汎魔方陣でないので、完全立方陣では
ありませんでした。）
まず平面での例を先に挙げて、後で３次元での内容を示します。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜まずは２次元での話：ここから
（等幅フォントで御覧ください：MSPゴシックでなく例えばMSゴシック）
以前?http://
で下図のような製法による汎魔方陣を示しました。
（汎対角方向の数字の和も等しい魔方陣です）
8800 4040 0202 1001 1111 14 11 ５ ４
0088 +0404 +0202 +0110 +1111 =１ ８ 10 15
8800 0404 2020 1001 1111 12 13 ３ ６
0088 4040 2020 0110 1111 ７ ２ 16 ９
これを最下行を最上行へという具合に、巡回シフトしても
下図のように対角条件が満足されていることから。
0088 4040 2020 0110 1111 ７ ２ 16 ９
8800 4040 0202 1001 1111 14 11 ５ ４
0088 +0404 +0202 +0110 +1111 =１ ８ 10 15
8800 0404 2020 1001 1111 12 13 ３ ６
●これで下図のように平面にすきまなく反復 充填して敷き詰めた場合には
14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４
１ ８ 10 15 １ ８ 10 15 １ ８ 10 15
12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６
７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９
14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４
１ ８ 10 15 １ ８ 10 15 １ ８ 10 15
12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６ 12 13 ３ ６
７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９ ７ ２ 16 ９
14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４ 14 11 ５ ４
１ ８ 10 15 １ ８ 10 15 １ ８ 10 15
◆汎魔方陣なので、どこからででも任意の場所から、
４ｘ４区画をとりだすと、それは魔方陣になっています。
■・・・逆に、下図のように任意の数を中心にして考えた場合は
どの数字を中心に選択しても、その周囲８方向とで
１列に連続して並ぶ、Ｎ個の数字の和はどこでも
すべて一定になります。
10+15+1+８＝3+9+14+８＝13+2+11+８＝12+9+5+８＝34:定和
３ 13 12
９ ２ ９
14 11 ５
10 15 １ ８ 10 15 １
12 13 ３
９ ２ ９
５ 11 14
４方８方、各方位にならぶ、数字の並びは、それぞれ、
中心の数字（上の例では８）を隅や縁に配置した魔方陣の
一部とみなせます。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜２次元の話：ここまで。
・・・・・以上と同様のものを立体でも構成できます・・・・
３次元空間上の格子点の座標(i,j,k)に下記★式の数字を
配置することで、上記と同様に、任意の方向に、連続して
並ぶN個の数字の和が一定になります。
次の★式はＮが11以上の素数で ＮｘＮｘＮの大きさの
完全立方陣をしめします。
★
Ｑ[i][j][k]＝
N*N* mod( i + 2*j +4*k , N)
+ N* mod( 2*i + 4*j + k , N)
+ mod( 4*i + j +2*k , N)
+1
ここで mod(x,N)はｘをNで割った余り。
０≦i,j,k＜Ｎ、Ｎ≧11、Ｎは素数
●この立方陣で３次元空間を透き間無く、充填すると：
◆そのどこからでも任意のＮｘＮｘＮ区画の立方体を
取り出すと、それは立方陣になっています。
■一箇所の数字から、隣接する周囲２６方向いずれに
ついても連続するＮ個の数字の和は等しく一定です。
・・・・★式が完全立方陣である証明は
【１】重複なく１からＮの３乗までの数字から成り立っていること
【２】ΣQ[i][j][k]が、任意のi,j,kの方向について一致すること
この２つを証明していきます。
【１】は次の行列QがＮを法とする剰余系で逆行列を持つことから証明されます。
ここでは３次元の例で説明しますが、何次元でも同様です。
１２４
２４１
４１２
この行列と(i,j,k)の縦ベクトルとの積で
（便宜上、ここでは縦ベクトルを横書きで示します）
Q(i,j,k)=Q(i',J',k')ならば、Q(i-i',j-j',k-k')≡０から
Qの逆行列を両辺にかけて(i-i',j-j',k-k')≡０ ゆえに
(i,j,k)=(i',j',k')よって、異なる(i,j,k)の組み合わせでは
★式が一致することはなく（０≦i,j,k＜Ｎ）の範囲内の
NｘNｘN個の数字は皆異なります。とりうる値の範囲は
１からNxNxNまでなので、この範囲全ての数から成り立っています。
【２】平面の場合と同様に、３次元空間に反復充填した場合を
想定して、どの方位についても連続して並ぶＮ個の数字の和が
等しいことを示します。
(i,j,k)番目の数字Q[i][j][k]に
隣接する(i+α,j+β,k+γ）の位置の数字Q[i+α][j+β][k+γ]
とで、その増減を調べてみると
（ここで、α、β、γは{-1,0,1}のいずれかを示す。
ただし、α、β、γの組み合わせは 全部が０の場合を
除く２６通り。つまり立体上なので（平面でいう四方八方でなく）
１３方２６方向に相当する）
Ｑの増減については、modの各項を個別にみると、
すべて、Ｎと素になる関係の増減である：
（α＋２β＋４γ、２α＋４β＋γ、４α＋β＋２γ）これらは
α、β、γが０または±１の値をとる
（３項同時には０でない）場合には、
いずれも、±１から±７までの値をとり、
これが１１以上の素数Ｎとは、素の関係であるから、
その０倍からＮ−１倍までの間には、
Ｎの剰余系で、０からＮ−１までの数字が全て含まれる。
以上が２６方位の各直線上に並ぶＮ個の連続した数字の和が
一定であることの証明です。
・・・・これでできあがった完全立方陣では、
辺に並行な方向と
各表面に平行な面での対角線
立方体の中心を通って反対側の頂点を通る立体的な対角線
これら以外に、全ての汎対角線方向での和が等しなり
最上段のNxN魔方陣を最下段に巡回シフトしても、
全体が立方陣になっているという具合です。
全ての断面NxN魔方陣が 汎魔方陣で成り立っています。
３次元空間をこの立方陣で充填すれば、どこからNxNxNの
立方体を切り出しても、それが立方陣になっていると
いうことで★式には、Ｃ1,Ｃ2,Ｃ3任意の定数を加えて
（ここで0≦Ｃ1,Ｃ2,Ｃ3＜Ｎ）
★
Ｑ[i][j][k]＝
N*N* mod( i + 2*j +4*k+Ｃ1 , N)
+ N* mod( 2*i + 4*j + k+Ｃ2 , N)
+ mod( 4*i + j +2*k+Ｃ3 , N)
+1
・・・と書きなおしてもいいでしょう。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
製法についての記事を?から連番で11/13現在?まで
連番で示しています。 目次として載せておきます
現在のページを◆で示しておきます。
初めての方は?から順にどうぞ。
・４方陣
? http://
? http://
・５方陣について
? http://
? http://
? http://
・合成数の大きさの方陣
? http://
・立方陣について
４立方陣
? http://
? http://
? http://
８立方陣
? http://
・７以上の素数サイズの立方陣
? http://
・11以上の素数サイズの完全立方陣
?◆http://
・5x5x5,6x6x6の立方陣も存在します。
? http://
・４次元方陣〜Ｍ次元方陣
? http://
・・・追記：上記の式は、Wikipediaにも転載しておきました。
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