魔方陣についてコミュの?8x8x8立方陣の一製法

以前に作った４立方陣を利用します。
式に使われてるABCDEの補助方陣パターンも前回の再利用です
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2552298

・・・・・・・・・・以下はその引用です。

１００１　１１００　１０１０　１１００　１０１０
１００１　００１１　０１０１　１０１０　００１１
０１１０　１１００　０１０１　０１０１　１１００
０１１０　００１１　１０１０　００１１　０１０１
　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）　　（Ｅ）

さらに右９０度回転した形に’をつけて表すものとします
００１１　　０１０１　　１００１
１１００　　０１０１　　０１１０
１１００　　１０１０　　１００１
００１１　　１０１０　　０１１０
　(A')　　　　(B')　　　　(C')　
これらの　０と１を反転させた形をそれぞれ
ａｂｃｄｅで表すこととします。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・：引用ここまで

ＤＥｅｄの順に４段重ねた形[DEed]や
ＥｄＤeの順に組み合わせて作った形[EdDe]は
４ｘ４ｘ４の立体の方陣です。

　他に組み合わせられる形としては、
　[AａＡａ]　[ｂＢＢｂ]　[ＣＣｃｃ]という形が
　考えられますが　これらは、みな向きが違うだけで、
　　同じものです。

32x[AaAa]+16x[a'A'a'A']+8x[EdDe]+4x[DEed]+2x[c'c'C'C']+[CCcc]+[all 1]

＝＞

48 _5 26 51　 24 49 46 11　 41 16 19 54　 17 60 39 14
53 20 15 42　 _1 44 55 30　 64 21 10 35　 12 45 50 23
27 62 33 _8　 47 _6 25 52　 18 59 40 13　 38 _3 32 57
_2 43 56 29　 58 31 _4 36　 _7 34 61 28　 63 22 _9 36

＝＝＞　これを [Ｍ］　と、書き表すこととして、

これを１８０度回転させて反対にしたものを：Ｗで示すこととします。

29 56 43 _2　 36 _4 31 58　 28 61 34 _7　 36 _9 22 63
_8 33 62 27　 52 25 _6 47　 13 40 59 18　 57 32 _3 38
42 15 20 53　 30 55 44 _1　 35 10 21 64　 23 50 45 12
51 26 _5 48　 11 46 49 24　 54 19 16 41　 14 39 60 17

＝＝＞［Ｗ］

　８ｘ８ｘ８に、サイズを拡張するにあたり、上段にＭを４組、下段に４組
　２ｘ２個ずつ配置することとします。
　　
上段４段分　下段４段分
　　ＭＭ　　　ＷＷ　　　　　
　　ＭＭ　　　ＷＷ

ＭとＷは4x4x4の大きさの立方体、180度回転の関係

これで全体で８ｘ８ｘ８の大きさの立方体ができあがります。
　　
これで立方体の対角和についてはＭが過大だった部分に
Ｗの過小部分が組み合わさることで、相殺されて、
その合計は他と一致します。

例　48+44+40+36 ＋　29+25+21+17　＝　１３０ｘ２
　　　　↑　　　　　　　　↑
Ｍ左上隅から右下隅　Ｗの左上隅から右下隅（Ｍの右下から左上隅）

これは、１から６４までの数字を、それぞれ８個ずつ
包含した立体の補助方陣です。

これに、さらに、６４ｘ０から６４ｘ７までの８種類
の数字を６４個ずつ使った補助立方陣を組み合わせることで、
対角和が等しい：断面が全て魔方陣になるという8x8x8立方陣が完成します。

256*(A)+128*(C)+64*(B')
↓
↓ ( 各要素を2x2＝４倍個数に拡大↓する。)
384 _64 128 320　　　　 384 384 _64 _64 128 128 320 320
256 192 __0 448 ---->　 384 384 _64 _64 128 128 320 320
_64 384 320 128　　　　 256 256 192 192 __0 __0 448 448
192 256 448 __0　　　　 256 256 192 192 __0 __0 448 448
　　　　　　　　　　　　_64 _64 384 384 320 320 128 128
　　　　　　　　　　　　_64 _64 384 384 320 320 128 128
　　　　　　　　　　　　192 192 256 256 448 448 __0 __0
　　　　　　　　　　　　192 192 256 256 448 448 __0 __0

＝＝＞　これを(Ｐ)と記すことにします。

（Ｐ）は８ｘ８魔方陣です　これと、補数関係にある方陣(ｐ)は次式で得られます。
　　、
256*(a)+128*(c)+64*(b') ===>

_64 384 320 128 (これも上と同様に８ｘ８に拡大する：図省略）
192 256 448 __0 (上記Ｐと同じ位置の同士の数を足すと448になる）
384 _64 128 320
256 192 __0 448

Ｐとｐの８方陣を交互に８段重ねた[ＰｐＰｐＰｐＰｐ]は

8x8x8の大きさの立方体です。

上下段で隣り合う数字の和が補数関係なので、
各段を貫く方向での１列に並ぶ数字８個の合計は一致します。

（斜めの対角方向についても2x2拡張されているので、
　補数同士の組み合わせを通ります）

　また、各段の中では、魔方陣になっていることとから、

　全ての方向について一直線上の数字８個の和が
　等しくなっている立体の補助方陣となります。

前出の　ＷＷ　ＭＭ　に、
　　　　ＷＷ　ＭＭ

この[ＰｐＰｐＰｐＰｐ]　を足し重ね合わせると、

重複なく１から512までの数字が得られ、立体上の
直線状に並ぶ８個の数字の和が、どこでも
(1＋512)x8/2=2052になる立体の魔方陣が完成します。
　各辺に平行な方向で３ｘ８ｘ８＝１９２本
　表面に平行な面での対角線２本ｘ3面ｘ８段＝４８本
　中心を通って反対頂点への４本：
　　合計２４４本の直線上の８個の数字の和が
2052に一致します。

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製法についての記事を?から連番で11/6現在?まで
連番で示しています。　目次として載せておきます
　現在のページを◆で示しておきます。

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・４方陣
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・５方陣について
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・合成数の大きさの方陣
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・立方陣について
　４立方陣
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　８立方陣
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　７以上の素数サイズの立方陣　
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[1] mixiユーザー 11月03日 08:00

以下、足し合わせた結果を示します。

ＷＷ　ＭＭ　
ＷＷ　ＭＭ　＋［ＰｐＰｐＰｐＰｐ］⇒

432 389 _90 115 176 133 346 371
437 404 _79 106 181 148 335 362
283 318 225 200 _27 _62 481 456
258 299 248 221 __2 _43 504 477
112 _69 410 435 368 325 154 179
117 _84 399 426 373 340 143 170
219 254 289 264 475 510 _33 __8
194 235 312 285 450 491 _56 _29

_88 113 430 395 344 369 174 139
_65 108 439 414 321 364 183 158
239 198 281 308 495 454 _25 _52
250 223 260 293 506 479 __4 _37
408 433 110 _75 152 177 366 331
385 428 119 _94 129 172 375 350
303 262 217 244 _47 __6 473 500
314 287 196 229 _58 _31 452 485

425 400 _83 118 169 144 339 374
448 405 _74 _99 192 149 330 355
274 315 232 205 _18 _59 488 461
263 290 253 220 __7 _34 509 476
105 _80 403 438 361 336 147 182
128 _85 394 419 384 341 138 163
210 251 296 269 466 507 _40 _13
199 266 317 284 455 482 _61 _28

_81 124 423 398 337 380 167 142
_76 109 434 407 332 365 178 151
230 195 288 313 486 451 _32 _57
255 214 265 292 511 470 __9 _36
401 444 103 _78 145 188 359 334
396 429 114 _87 140 173 370 343
294 259 224 249 _38 __3 480 505
319 278 201 228 _63 _22 457 484

413 440 107 _66 157 184 363 322
392 417 126 _91 136 161 382 347
298 271 212 245 _42 _15 468 501
307 282 197 240 _51 _26 453 496
_93 120 427 386 349 379 171 130
_72 _97 446 411 328 353 190 155
234 207 276 309 490 463 _20 _53
243 218 261 304 499 474 __5 _48

101 _68 415 442 357 324 159 186
116 _89 390 431 372 345 134 175
222 247 300 257 478 503 _44 __1
203 238 305 280 459 494 _49 _24
421 388 _95 122 165 132 351 378
436 409 _70 111 180 153 326 367
286 311 236 193 _30 _55 492 449
267 302 241 216 _11 _46 497 472

412 445 _98 _71 156 189 354 327
397 424 123 _82 141 168 379 338
291 266 213 256 _35 _10 469 512
310 275 208 233 _54 _19 464 489
_92 125 418 391 348 381 162 135
_77 104 443 402 333 360 187 146
227 202 277 320 483 458 _21 _64
246 211 272 297 502 467 _16 _41

100 _73 406 447 356 329 150 191
121 _96 387 422 377 352 131 166
215 242 301 268 471 498 _45 _12
206 231 316 273 462 487 _60 _17
420 393 _86 127 164 137 342 383
441 416 _67 102 185 160 323 358
279 306 237 204 _23 _50 493 460
270 295 252 209 _14 _39 508 465

[2] mixiユーザー 08月22日 03:25

　誤字訂正しておきました。
０から６３まで　→　１から６４まで。

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