魔方陣についてコミュの?４ｘ４ｘ４の(準)立方陣　について補足。

４立方陣では、４個の数字が１列に並ぶ箇所が７６箇所あります。
　 ・表面の辺に並行な縦横上下３ｘ１６＝４８箇所
これに加えて、次の２種類の対角方向があります。
　(1)表面に並行な１２面の方陣での対角線２ｘ１２=24箇所
　(2)中心を通って反対側の頂点に向かう対角線：４箇所

これら７６箇所すべての和を定和である１３０に合致させることは不可能な４立方陣ですが

(１)　(2)の４箇所：中心を通る立体の対角和のみ無視して
　　表面に平行な面　での対角和が等しい(準）立方陣
　を以前に提示しました。
　　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2552298

・・・・逆に(1)の一部分は定和130を満たさない代わりに

(２)の立体的な対角方向が、定和１３０になっている
　　　（中心を通って反対側の頂点に向かう４本の
　　　　対角線上の和が定和１３０になっている）
（準）立方陣として、次のようなものがあります。

_1 32 34 63　 56 41 23 10　 13 20 46 51　 60 37 27 _6
48 49 15 18　 25 _8 58 39　 36 61 _3 30　 21 12 54 43
19 14 52 45　 38 59 _5 28　 31 _2 64 33　 42 55 _9 24
62 35 29 _4　 11 22 44 53　 50 47 17 16　 _7 26 40 57

この４立方陣では、１面を4面の後ろに巡回シフトしても
相変わらず　立方陣となるような、つまり方陣でいう
完全方陣の立体版で、しかも立体の対角の和がいつも
（シフトしても）一定に保たれるものです。
　阿部楽方氏はこれを完全立体４方陣と呼んでいます。
　浦田繁松氏が昭和２３年に１５種類存在することを
　明らかにしたそうです。

ちなみに、下記は、中央２段をルービックキューブみたいに
180度回転させれば、どちらかの条件を満たすものです。

これは気に入ってる自作の（準）立方陣です


【A】中心を通って反対頂点に向かう４本を除く、
　　各面の対角和2x4x3箇所が等しいもの

　　55 34 30 11　 41 16 52 21　 28 61 _1 40　 _6 19 47 58
◆→48 _9 53 20　 _2 23 43 62　 51 38 26 15　 29 60 _8 33
◆→17 56 12 45　 63 42 22 _3　 14 27 39 50　 36 _5 57 32
　　10 31 35 54　 24 49 13 44　 37 _4 64 25　 59 46 18 _7

55+ 9+12+54 = 41+23+22+44 = 28+38+39+25 = 6+60+57+7
=10+56+53+11 = 24+42+43+21 = 37+27+26+40 = 59+5+8+58 =130

　 他に立体表面に並行な８面分が魔方陣となり、
　　その面内での対角和が定和である130に一致しています。


【B】中心を通って反対頂点に向かう対角線上の和が等しくなるもの

　【A】からルービックキューブをまわすように、
中央２段目と３段目を逆順（180度回転の関係）に
　　するだけです↓
　　　２行目３行目が【A】と左右逆順になっています。

55 34 30 11　 41 16 52 21　 28 61 _1 40　 _6 19 47 58
33 _8 60 29　 15 26 38 47　 62 43 23 _2　 20 53 _9 48 ←◆
32 57 _5 36　 50 39 27 14　 _3 22 42 63　 45 12 56 17 ←◆
10 31 35 54　 24 49 13 44　 37 _4 64 25　 59 46 18 _7

55+26+42+7 = 10+39+23+58 = 11+38+22+59 = 54+27+43+6
= 130


↓【A】を別の向きから描くとこんな具合です。
　　　上図の１行目が、下図の左側１段目の４方陣
　　　上図の２行目が　左から２段目の４方陣という具合です

55 34 30 11　　48 _9 53 20　 17 56 12 45　 10 31 35 54
41 16 52 21　　_2 23 43 62 　63 42 22 _3 　24 49 13 44
28 61 _1 40　　51 38 26 15　 14 27 39 50　 37 _4 64 25
_6 19 47 58　　29 60 _8 33 　36 _5 57 32　 59 46 18 _7
　　　　　　　　　　　↓　　　　↓
　【B】は　２段目と　 ↓３段目と↓を180度回転させた形
　　　　　　　　　　　↓　　　　↓
55 34 30 11　　33 _8 60 29　 32 54 _5 36　 10 31 35 54
41 16 52 21　　15 26 38 51　 50 39 27 14 　24 49 13 44
28 61 _1 40　　62 43 23 _2　 _3 22 42 63　 37 _4 64 25
_6 19 47 58　　20 53 _9 48　 45 12 58 17　 59 46 18 _7

　　（２段目と３段目との間では隣接する２個の数字
　　　(4x4の中で同じ位置に相対する数字同士）の和が
　　　どこも６５で一定なのがミソです）


・・・さて、次回の予定としては、

８ｘ８ｘ８の立方陣を考えます。
いままでに作った４ｘ４ｘ４の準立方陣を使います。

４本の立体対角和が他と一致しない部分は、一方の和が他より多い分,他方が小さいという関係なので、２個相補的に組みあわせることで、相殺しあって８個の数字の合計を他と、一致させることができます。
　
つまり、この4x4x4の立方陣を、2x2x2＝８個組み合わせることで８ｘ８ｘ８の立方陣の、補助方陣として使えるわけです。
　


==============================================
製法についての記事を?から連番で11/6現在?まで
連番で示しています。　目次として載せておきます
　現在のページを◆で示しておきます。

初めての方は?から順にどうぞ。

・４方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2013306
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2017172
・５方陣について
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2102712
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2166770
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2370334
・合成数の大きさの方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=1948761
・立方陣について
　４立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2393919
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2552298
?◆http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2730817
　８立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2730921
　７以上の素数サイズの立方陣　
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2750487