魔方陣についてコミュの?魔方陣の製法【１】４ｘ４魔方陣について

（追記：　↓ここでも再掲しておきました。ここの内容とは重複しますが...)
http://mixi.jp/view_diary.pl?id=139998157&owner_id=1285676

(数字の嫌いな人はまず上記の方を観て下さい）

４方陣を,こんな具合につくれます

1111　0101　0022　0440　0808　　１ 14 ７ 12
1111＋1010＋2200＋4004＋0808 → ８ 11 ２ 13
1111　1010　0022　0440　8080　　10 ５ 16 ３
1111　0101　2200　4004　8080　　15 ４９６

これは、０と１からだけから成る２進数方陣を４桁の
２進数各桁に割り当てることで０から１５までの数字
からなる魔方陣をつくり、各数字を１ずつ増すことで
１から１６までの魔方陣とするものです。

　２進数補助方陣の形としては、代表的なものは
次の５通りがあります。
　　いずれも、縦横対角線上に０と１とが
　　２個ずつ並んでいます。

１００１　１１００　１０１０　１１００　１０１０
１００１　００１１　０１０１　１０１０　００１１
０１１０　１１００　０１０１　０１０１　１１００
０１１０　００１１　１０１０　００１１　０１０１
　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）　　（Ｅ）

さらに右９０度回転した形に’をつけて表すものとします
００１１　　０１０１　　１００１
１１００　　０１０１　　０１１０
１１００　　１０１０　　１００１
００１１　　１０１０　　０１１０
　(A')　　　　(B')　　　　(C')　

この中から、４組選んで
　各々８倍・４倍・2倍・１倍した
　もの同士を組み合わせれば、いいのですが、
　
任意に魔方陣が作れるわけではなく。
　　実際に調べてみると、作れる組合せには、
　　次の制約条件があります。
　
?Ａ、Ｂ，Ｃのグループの中だけの場合には
　ＡＢＣから２種類、A'B'C から２種類を選ぶことが必要

?ＤＥを含むものでは、ＡＣ'またはA'Ｃとの組み合わせが
　　　魔方陣をつくることができる。

これらから、作れる組み合わせを求めると：

　例えば　A,A',B,B'で作れる組み合わせを
　　（A,A',B,B')で表すとすると
これには、上下反転のa,a',b,b'も
　含めて用いた形として、
　　｛A,a},{A'a'},{B,b},{B',b'}　
　　それぞれの集合から、左右どちらの要素を
　　使うかということで2x2x2x2＝１６通り、
　その４個を２進数各桁 8,4,2,1のいずれに
割り振るかの順列で２４とおり
　
　最終的に、全体を回転、裏返しで同型になるものが
８種類重複してるので、
　　その総数は１６ｘ２４÷８＝４８通りになります.

以下同様にして、
（A,A',B,B'),(A,A'C,C'),(B,B',C,C')　各４８通り
（A,A'B,C'),(A,B,B'C'),(A',B,B',C),(A,C',D,E)
・・・・各９６通り

　ここでは例えば（A,A',B',C)は　（A',A,B,C')で
作れる組み合わせを含めています。
全体を90度回転すれば、両者同じ形を作れるからです。

つまりこのABCDEとその回転、反転だけで
総数５２８通りの魔方陣がつくれます。

４方陣は８８０通りあることが知られています。
のこり３５２通りはどうやって作れるでしょう。

　例えば、次のような形もあります。
　対角和がどの補助方陣も一致しないパターンです

<非対称サンプル>
３ 13 ４ 10　　0 8 0 8　0 4 4 0　2 0 0 2　1 1 0 0
１ 15 ８６＝＞0 8 8 0＋0 4 0 4＋0 2 0 2＋1 1 0 0
14 ０７９　　8 0 0 8　4 0 4 0　2 0 2 0　0 0 1 1
12 ２ 11 ５　　8 0 8 0　4 0 0 4　0 2 2 0　0 0 1 1

結論からいいますと。次の７種類も使うことで
残りがつくれます。

これは対角線上の和が他と不一致の方陣です。

　　対角和が０か４
１１００　　１１００　　１０１０
１１００　　０１０１　　０１０１　
００１１　　１０１０　　１０１０
００１１　　００１１　　０１０１
　（F)　　　　（G)　　　　（H)

　対角和が１か３
１００１　　１００１　　１１００　　１０１０
１１００　　０１０１　　０１１０　　０１１０
００１１　　１０１０　　１００１　　１００１
０１１０　　０１１０　　００１１　　０１０１
　（I)　　　　（J)　　　　（K)　　　（L)

これらを、混ぜて使うことにより、残りの３５２通りが
作れます。
・Ａ～Ｅ：２種類と　F～H：１種類とＩ～Ｌ：１種類との
　組み合わせ　１９２通り
・Ａ～Ｅ：１種類と　F～H：１種類とＩ～Ｌ：２種類との
　組み合わせ　１１２通り
・Ａ～Ｅ：０種類と　F～H：１種類とＩ～Ｌ：３種類との
　組み合わせ　　４８通り

F～HはI～Lに隣あい、それらの中で最下位桁に
配置されますF～Hを２度使う組み合わせはありません
（対角線上の数が重複します）

・・・・・・以上、４方陣８８０種全部の製法でした。

==============================================
製法についての記事を?から連番で11/6現在?まで
連番で示しています。　目次として載せておきます
　現在のページを◆で示しておきます。
・４方陣
?◆http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2013306
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2017172
・５方陣について
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2102712
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2166770
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2370334
・合成数の大きさの方陣
?　　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=1948761
・立方陣について
　４立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2393919
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2552298
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2730817
　８立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2730921
　７以上の素数での立方陣　
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2750487

コメント(15)

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[1] mixiユーザー 09月09日 22:54

もうすこし簡略化した形でかくと
４進数２桁分の　上位桁側と（下位桁側+1）との

　{1,2,3,4}　と　{0,4,8,12} の組み合わせで
考えると、わかりやすいかもしれません。

例えば

１２３４　　　０12４８　　　１ 14 ７ 12
４３２１　＋　４８０12＝＞　８ 11 ２ 13
２１４３　　　８４12０　　　10 ５ 16 ３
３４１２　　　12０８４　　　15 ４９６

左側の方陣では、１から４までの数字が、いずれも
各行、各列、各対角線上に１個ずつ配置されています。

　（このあたり、ニコリの数独パズルにも似ています
　　http://www.nikoli.co.jp/puzzles/1/）

数独とちがうのは、４進数、上位桁側とも組み合わせて
重複なく、１から１６まですべての数字が生成される
ようにすることです。

１から４まで全てが１列に配置される必要はありません
１と４、２と３　補数同士が、２個ずつの組み合わせが
１列にあってもＯＫです。

　例えば

２２３３　０12８４　　２ 14 11 ７
３３２２＋０12８４＝＞３ 15 10 ６
１１４４　12０４８　　13 １８ 12
４４１１　12０４８　　16 ４５９

このような形は他にも、いろいろ作れると思います
片側だけででも、他に考えてみてください。

例えば

１２３４　１４１４　　　まだまだ、たくさんあるでしょう。
３４１２　２３２３　・・・・・＞この先は御自身で。
２１４３　４１４１
４３２１　３２３２

[2] mixiユーザー 11月23日 01:12

↑これって、私の仕事に役に立つことに
今気付きました。

ありがとうございます！

[3] mixiユーザー 11月23日 05:16

お役に立って、なによりです。

　魔方陣が、何かの実用に役だったという話は、なかなか、無くて、せいぜい、東芝がプラズマTVに、”魔方陣アルゴリズム”を使ったというぐらいしか知りません。

http://www.watch.impress.co.jp/av/docs/20030903/toshiba1.htm

・・・・・さしつかえない範囲で、何の役に立ったのか、教えていただけませんか？

[4] mixiユーザー 11月23日 12:30

ごめんなさい。
私のいくつかの仕事のなかで
唯一、厳しい守秘義務のある「闇の仕事」関係なので
一切言えません。(^^ゞ

[5] mixiユーザー 11月23日 12:48

工学院大学情報工学科教授の長嶋秀世氏らによる
”完全方陣のディザ行列への適用に関する検討”
という論文を読んだことがあります。
長嶋教授の研究成果のリストはこちらです。
http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ct69111/research/research.html
ディザ行列というのは、いかにして少ない色の階調で
自然な（なめらかな）グラデーションに見せるか？
という目的のために使われる技法です。
Googleのイメージ検索でditherと入れると
それっぽい画像がたくさん出てきます。

東芝が当時謳っていたのもそれと同等か似た手法だと思います。
今はもう魔方陣アルゴリズムの文字はないですので、
使用していないか、実はどこのメーカーでもやっていたか、
アピールするほどの効果がなかったものと思われます。

[6] mixiユーザー 11月23日 14:17

あ、その論文、読んだことがあったと思います。
　（こんなんで論文書けるんなら、私自身、魔方陣か立方陣を
　何か卒研のネタにでもすれば良かったと、当時はすごく
　悔しかったです）

間引き縮小画像などで、濃度平均の変動が、普通のBayer型ディザマトリックスよりも少なくて良いという話でしょう。

１９３11
13５15７
４12２10
16８14６

たしかbayer型のマトリックスはこんな風な配置で、
（濃淡を順に表現する際はなるべく、ドット同士が
　離れる順番に、数字が配置されています）
これを閾値として、多値画像を２値化したばあい、
1/4程度の濃度では、図の１から４までの場所が、
黒になって、下図のような具合です。

■□■□■□■□
□□□□□□□□
■□■□■□■□
□□□□□□□□
■□■□■□■□
□□□□□□□□
■□■□■□■□
□□□□□□□□

この画像だと　縦横半分の縮小画像をつくろうとした場合
単純に縦横１本ずつ等間隔に間引くと
■■■■　□□□□
■■■■か□□□□
■■■■　□□□□
■■■■　□□□□
となり、濃淡が大きく変わることになりますが、

完全魔方陣をディザパターンに使った場合には２値化すると
よく桂馬トビの配置がでてきます。

□■□□□■□□
□□□■□□□■
■□□□■□□□
□□■□□□■□
□■□□□■□□
□□□■□□□■
■□□□■□□□
□□■□□□■□

これを　縦横１個おきに単純間引いた画像では、
まびく起点がどこであれ　下図のように白黒比が
かわらず、濃度変動が少なくなるという点で、
サムネイル画像を作る元画像の２値化方法に
いいということでした。

□□□□
■□■□
□□□□
■□■□

論文では４ｘ４行列での汎魔方陣４８通り
（本質的には３通り）について比較して、
３種類のうちの１つが対角方向も含めて、
一番周波数特性が良かったという話も
載っていたかと思います。

[7] mixiユーザー 08月11日 21:19

算数の不思議とかいうような本に、覚えやすい
具体例が１つありましたので、
「いつでもすぐ(初心者でも）書けるように１個ないかなぁ」
という人用に、ご紹介します。

?　まず１～１６を４方陣のマスに敷き詰めてみましょう

　１２３４
　５６７８
　９101112
　13141516

?　４方陣の上に×印を思い浮かべて、数を残してください
　(対角線上、ということです）

　?　　?
　　??　
　　??　
　?　　?

?　空きができた部分を逆から数を埋めてください

　?1514?
　12??９
　８??５
　?３２?

?　以上のような手順で1個できます。勿論この４方陣を
　　回転させることで他にも３種覚えることができます

数学が嫌いだけど魔方陣を記憶したい方専用(笑　

[8] mixiユーザー 08月20日 16:57

同じ方法が8方陣,12方陣,16方陣,20方陣でもつかえます。

　８方陣の例：

\■■／\■■／
■\／■■\／■
■／\■■／\■
／■■\／■■\
\■■／\■■／
■\／■■\／■
■／\■■／\■
／■■\／■■\

上図の斜線\／部分について　左上隅から順に
数字を収めていってから

→→→→→→→→
?■■??■■?
■??■■??■
■??■■／\■
／■■\／■■\　途中省略
\■■／\■■／
■\／■■\／■
■／\■■／\■
57■■6061■■64
→→→→→→→→

残った黒■の部分に,下から反対に
右下隅から左方向へ順に数字を収めると

←←←←←←←←
?6362??5958?
□??□□??□
□??□□／\□
／□□\／□□\　途中省略
\□□／\□□／　
□\／□?\／?
?／\??／\?
57??6061??64
←←←←←←←←

・・・・８方陣が完成します

[9] mixiユーザー 08月21日 13:10

あまゐりさん、これ面白すぎます♪

[10] mixiユーザー 07月31日 22:45

4x4の魔方陣が手頃でおもしろいとおもいました。

880ある解のうち、なにか意味づけができるものがあるとよいかなとおもいました。

探していたら下記のようなサイトがありましたので紹介です。
仲の悪い数、すごく仲の悪い数w
http://www.guru.gr.jp/~issei/msqj/4houjin.htm

[11] mixiユーザー 08月01日 05:24

4x4についてH. E. Dudeneyさんが1910年に提案した12分類
http://www.magic-squares.net/order4list.htm#Introduction
880の全リストも掲載されています

[12] mixiユーザー 08月01日 05:42

Mutsumi Suzukiさんの
4x4のsemi magic square (斜めを考慮しない)
68688個あるそうです。
http://mathforum.org/te/exchange/hosted/suzuki/MagicSquare.4x4.semi.html

[13] mixiユーザー 08月01日 06:34

4x4のpandiagonalのmagic squareをトーラス状に描いたもの
http://carresmagiques.blogspot.jp/2012/12/magic-torus.html

4x4のpandiagonalなものは本質的には３つしかないんだそうです
http://en.wikipedia.org/wiki/Pandiagonal_magic_square

[14] mixiユーザー 08月25日 20:54

久々の投稿　ありがとうございました。
　ちなみに、10>>の仲の悪い数、すごく仲の悪い数　は、このコミュのメンバーでもあるisseiさんの記事ですね。

[15] mixiユーザー 08月25日 20:59

>>１３
>4x4のpandiagonalなものは本質的には３つしかないんだそうです

これは　上の記事の途中にある（↓下記抜粋部分）　A,A'B,B'の組み合わせを使ったものに相当します

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
　例えば　A,A',B,B'で作れる組み合わせを
　　（A,A',B,B')で表すとすると
これには、上下反転のa,a',b,b'も
　含めて用いた形として、
　　｛A,a},{A'a'},{B,b},{B',b'}　
　　それぞれの集合から、左右どちらの要素を
　　使うかということで2x2x2x2＝１６通り、
　その４個を２進数各桁 8,4,2,1のいずれに
割り振るかの順列で２４とおり
　
　最終的に、全体を回転、裏返しで同型になるものが
８種類重複してるので、
　　その総数は１６ｘ２４÷８＝４８通りになります.
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

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