魔方陣についてコミュの?魔方陣の製法【２】４ｘ４汎魔方陣について

４方陣には、次の性質が知られています。

各行、各列、各対角線上の４個の数字の和が一定なだけで
なく、下図のＡＢＣＤそれぞれの位置の４個の数字の和も
定和３４に一致します。

ＡＢＢＡ　　証明は簡単で、最上列と最下列(A+B+B+A)　
ＣＤＤＣ　　対角線上(A+D+D+A)との４本の線上の数字
ＣＤＤＣ　　の総和は,隅のAの部分が重複してカウント
ＡＢＢＡ　　されていて、これが全体の総和に等しい
　　　　　　ことから、Ａの総和や、Ｃの総和が定和に
　　　　　　等しく、以下、同様に、Ｂ同士やＤ同士の
　　　　　　総和も34とわかります。

１行目と２行目、３行目と４行目を入れ替え、さらに
１列目と２列目、３列目と４列目を入れ替えた結果は

ＤＣＣＤ
ＢＡＡＢ
ＢＡＡＢ
ＤＣＣＤ

となり、これも、行、列、対角線上の数字の組み合わせが
同じなので魔方陣になっていることがわかります。

さらにＡ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３４の条件を満たせば、対角線上
どこでも、斜め方向の和が等しいので

ＤＣＣＤ　　　　　最上行を最下行へ巡回移動したり
ＢＡＡＢ→ＢＡＡＢ　最左列を最右列へ巡回させても
ＢＡＡＢ→ＢＡＡＢ　対角和が変わらないことから
ＤＣＣＤ→ＤＣＣＤ　魔方陣になっています。
　　　　　ＤＣＣＤ
　　　　　　↓↓↓↓
　　　　　　ＡＡＢＢ
　　　　　　ＡＡＢＢ
　　　　　　ＣＣＤＤ
　　　　　　ＣＣＤＤ

　このような魔方陣（汎対角方向の和も等しい魔方陣）は
汎魔方陣と呼ばれます。

４方陣では４８通りあることが知られています。
（１６通りずつは、行と列の
　巡回シフトで得られるから、独立なのは３通り）

十分条件として、前回説明の下図、Ｂ，Ｂ’Ｃ，Ｃ’の
４通りを組み合わせれば、各々が汎魔方陣の条件を
満たすので、組み合わせた結果も汎魔方陣になります。

１１００　１０１０　０１０１　１００１
００１１　０１０１　０１０１　０１１０
１１００　０１０１　１０１０　１００１
００１１　１０１０　１０１０　０１１０
　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（B'）　　（C'）

例（↓８４２１を入れ替えれば他にもできる）

８Ｂ＋４Ｃ＋２Ｂ'＋１Ｃ　＋ALL1＝

8800　4040　0202　1001　1111　14 11 ５４
0088＋0404＋0202＋0110＋1111＝１８ 10 15
8800　0404　2020　1001　1111　12 13 ３６
0088　4040　2020　0110　1111　７２ 16 ９

４方陣の場合は、この組み合わせで作れる４８通りが
全てなので、結局これを用いることが、必要かつ十分な
条件になります。

　この汎魔方陣（完全魔方陣ともいう）で、
平面を敷き詰めると、その、どの場所を起点にしても
４ｘ４切り出した内容は、魔方陣になっています。

この魔方陣は屋外でも観ることのできる場所があります。
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/mahou/mahou.html
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/takaralarge10.htm
汎魔方陣について本もでているそうです。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535784213/250-8623518-2905827

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