魔方陣についてコミュの?４次元方陣〜Ｍ次元方陣

?で↓示した３次元方陣（立方陣）を表した★式
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2824935

その式を拡張すれば、例えばNxNxNxNの４次元方陣と
　いうのも　Ｎ≧１７以上の素数と、その素数同士の
　積の場合について次のように作れます。

★
Ｔ[i][j][k][L]＝

N*N*N* mod( 　i + 2*j +4*k +8*L +Ｃ1 , N)
+ N*N* mod( 2*i + 4*j +8*k +　L +Ｃ2 , N)
+　 N* mod( 4*i + 8*j +　k +2*L +Ｃ3 , N)
+　　　mod( 8*i + 　j +2*k +4*L +Ｃ4 , N)
+1

ここで
　Ｎは17以上の素数、mod(Ｘ,N)はＸをNで割った余り。
　0≦i,j,k,L＜Ｎ
　0≦Ｃ1,Ｃ2,Ｃ3,Ｃ4＜Ｎ　Ｃ1〜Ｃ4は任意の定数。

これで４次元空間をこの超立方体で充填した場合
任意の場所(i,j,k,L)から、それに隣接する方向
(i+α,j+β,K+γ,L+δ）　ここで、-1≦α,β,γ,δ≦１
ただしα,β,γ,δすべてが０でない組み合わせとして、
３の４乗−１＝　８０通りの４次元的な全方向について、
直線上にならぶ、連続したＮ個の数字の和が定和になります。

この証明は?での記事と同様に
（１）各直線上に連続して並ぶＮ個の数字の和が等しくなること
（２）重複なく１からＮの４乗までの数字から成り立っていること。
の２点から次のように証明できます。

(1)は例えば、α＋２β＋４γ＋８δの取り得る値が
±１から±１５までであり、これが具合のいいことに
　●　０を含まないこと　および　Ｎに対して素であること。
　これで、modの項は、各項について、(α,β,γ,δ）方向に
　連続したＮ個の並びについては、０からＮ−１を含んで、
　その合計は　Ｎ*（Ｎ−１）/２で一定になります。


(2)については
　　　0≦i,j,k,L＜Ｎの範囲内では
　　　あるＴ[i][j][k][L]と一致するものは、他にないから
　　　全体では、１からＮの４乗までの数字からなることを

　　　もしＴ[i][j][k][L]＝Ｔ[i'][j'][k'][L']ならば
　　　　　(i,j,k,L)＝(i',j',k',L')が成立することを

Ｎの剰余系のもとで、
行列
　１２４８
　２４８１
　４８１２
　８１２４
が逆行列を持つことから?と同様に証明できるからです。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

同様にして５次元以上：Ｍ次元での方陣というものも定義できます。式の形としては同じことですが、


Ｍ次元ということで、表記の仕方を変更します。

　i,j,k,Ｌ....に替えて Ｘ0,Ｘ1,Ｘ2,...ＸM-1
　N*N*N といった累乗を^を使って　例えばＮ^3という具合に
表記すると次式のようになります。


Ｍ次元方陣の(Ｘ0,Ｘ1,Ｘ2,...ＸM-1)座標の値：

H[Ｘ0][Ｘ1][Ｘ2]...[ＸM-1]＝

Ｎ^(M-1)* mod (Ｘ0+2*Ｘ1+4*Ｘ2+...+2^(M-1)*ＸM-1＋Ｃ1,Ｎ）

+Ｎ^(M-2)* mod(2*Ｘ0+4*Ｘ1+8*Ｘ2+...+2^(M-1)*ＸM-2+ 2^0*ＸM-1+Ｃ2,Ｎ）

:
;
+ mod(2^(M-1)*Ｘ0 +Ｘ1 +2*Ｘ2+...+ 2^(M-2)*Ｘm-1 +ＣM,Ｎ）
+1



以上です。
　どうも途中の項がテキストでは表現しずらくなりました(^^ゞ

・・・・後で、Σを使った式に書きなおしてみたいと思います。
（どなたか、先にやっていただいて、ココにコメントくださるとありがたいです。式を記した写真を貼るのも手かなと思っているところです）





・・・・・以上で、私がこのコミュを設置した時からの
目論見であった魔方陣の製法記事は全て載せました。



＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
製法についての記事を?から連番で11/13現在?まで
連番で示しています。　目次として載せておきます
　現在のページを◆で示しておきます。

初めての方は?から順にどうぞ。

・４方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2013306
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2017172
・５方陣について
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2102712
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2166770
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2370334
・合成数の大きさの方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=1948761
・立方陣について
　４立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2393919
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2552298
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2730817
　８立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2730921
・７以上の素数サイズの立方陣　
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2750487
・11以の素数サイズの完全立方陣
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2824935
・5x5x5,6x6x6の立方陣も存在します。
?　http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2892234
・４次元方陣〜Ｍ次元方陣
?◆http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2894212