魔方陣についてコミュの?７以上の素数サイズの立方陣　（※１９を除く）

2007年12月08日 06:39 に書いておいた、下記に内容の記事について
訂正記事をのせておきました。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=43802057&comm_id=297396
　
P=19の場合は、下記内容で用いてる行列の行列式が19であることから破綻する
との指摘を受けました。
　※　従いまして、ひとまずは　７以上で19を除く素数サイズとして
訂正しておきます。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
Ｎを７以上の素数として、ＮｘＮｘＮの立方陣の頂点１箇所を原点(0,0,0)として(i,j,k)番目の位置の立方陣の要素を、
プログラム言語の配列形式にならって　Ｑ[i][j][k]　と
いう形で表すとすると

次式★は、立方陣を表す式です。

★
Ｑ[i][j][k]
＝N*N* Mod(( 3*i + 　j - 2*k +(N+1)/2 ),N)
　+ N* Mod((　 i - 2*j + 3*k +(N+1)/2 ),N)
　+　　Mod((-2*i + 3*j + 　k +(N+1)/2 ),N)
　+ 1


（ここでi,j,kは整数　０≦i,j,k＜N　Ｎは７以上の素数※）
ここで、Mod(x,n)は　ｘをｎで割った余りを表す関数です。
　*は乗算の記号です。（エクセルの関数表記にあわせました）

　　（※Ｎは７以上の素数だけでなく、７以上の素数同士の
　　　　　　　　合成数でもいいはずです。）

この式は
　・Ｎ進数３桁分の組み合わせの項から成っています。
　・各項の組み合わせは、立体の斜め方向に同じ数字が並ぶ形です。
　 ・同じ数字が並ぶ向きを３項で立体的に違えています。
　 　　
・・・これは丁度、５方陣の製法で斜め４５度に数字を、それぞれ異なる向きを並べて、足し合わせた形の立体版です。

１４２５３　　　10,０,15,５,20　　　11 ４ 17 10 23
４２５３１　　　20,10,０,15,５　　　24 12 ５ 18 ６
２５３１４　＋　５,20,10,０,15　⇒　７ 25 13 １ 19
５３１４２　　　15,５,20,10,０　　　20 ８ 21 14 ２
３１４２５　　　０,15,５,20,10　　　３ 16 ９ 22 15

[定和=15] 　[定和＝50]　　[定和=15+50⇒６５である魔方陣]　　

この５方陣の例では、左上隅を原点(0,0)　右上隅の座標を
(4,0)、左下隅を(0,4)とすると(i,j)の位置の値S[i][j]は
次のように表せます。 (ここで、*は乗算の記号です）

Ｓ[i][j]＝
５* mod（３*i-３*j＋２,５）　　　・・・（定和50の方陣）
＋　mod（３*i+３*j　　,５）＋１　・・・（定和15の方陣）
　 　
★式は、言わば、この立体版です。


ある対角面では、上記のように斜めに数字が並びますが、
他の　表面や表面に平行な面では、桂馬跳びに、あるいは
　囲碁でいうところの 大桂馬に数字が並んでいる補助方陣
　同士の和になっています。
　 奇数方陣の製法での”角”や”桂馬”の組み合わせで、
　　各断面の魔方陣ができあがっています。

この式が立方陣になっていることの証明については
　◆ΣＱ[i][j][k]が、i,j,kどの方向についても合計が等しくなること
　◆i,j,kの異なる組み合わせではＱ[i][j][k]は全て異なること
　　（つまり全体は１からＮの３乗までの数字からなること）
この２点で、上式が立体の魔方陣であることが証明できるかと思います


厳密な証明はさておき、簡単に説明しておきます。

◆全部の数字が異なることについては、剰余計算Mod()の３項が、
　　i,j,kいずれかが異なる地点においては３項同時には
　　一致しないことを言えればいいかと思います。

　Q[i][j][k]=Q[i'][j'][k']が成立するならば
　Ｎを法とする剰余系で　(i,j,k)≡(i',j'k')となることは、
　剰余系が体を成すことから証明されます。

　すなわち上記★式を３項独立に考えて、
　ベクトル(i,j,k)についての
　剰余系の世界での行列Ｑと定義して
　　行列Ｑと、ベクトル(i,j,k)　との積を考えると
　　　　　（(i,j,k)はホントは縦ベクトル表記だが）
　　Ｑ (i,j,k) ≡ Ｑ(i',j',k')から
　　Ｑ(i-i',j-j',k-k')≡０　　
（剰余系の世界では除算が定義できることにより
　逆行列が存在するということで、Ｑの逆行列を両辺に
　かけたことにして　(i-i',j-j',k-k')≡０が言える）
　
行列Ｑとしては、Ｎ進数３桁分を分けて考えて

　３　　１　−２
　１　−２　　３
−２　　３　　１

という行列に、(i,j,k)の縦ベクトルをかけて、得られた
ベクトルの各要素のＮの剰余を求めたものを、Ｎ進数３桁の
各位として、最後に１を加えたのが★式という具合です。


◆また、１列の和が等しくなることについては、ある地点（i,j,k)と
　　 その隣接部分（i＋α,j＋β,k＋γ）とでの、★式の　Mod()の各項での

　　数字の変化（ずれ量）をみると　αβγとして　-1,0,+1の

　　いずれか組み合わせた（全部０の場合を除く）２６通りについて

　Ｎの剰余系として、０から、　±１、±２、±３、±４、±５、±６
　　までのずれを生じ得ます、Ｎが７以上の素数であることから、
　ずれ量が０でない箇所においては：

　　Ｎと素である、ずれ量の、N倍までの整数倍を
　　Ｎで割った剰余には、０からＮ−１までの数字が１回ずつ含まれて
　　これが１列に並ぶ数字に含まれることになり、結果として１列の和が
　　他と等しくなることがいえます。

　　　　（例として、下図の各行、各列の数字の配置を御覧ください）　
　ずれ量が０となる箇所では：−２＋３−１≡０ (mod N)ですから、

　　　1,N,N*Nそれぞれが係数になっているMod()の各項について、
　　　原点(0,0,0) からみて
　　　（i,j,k)=（1,1,-1) (1,-1,1)(-1,1,1)に向かう３方向に平行な
　　　方向に並ぶ所ではMod()の各項は、隣接する数値と同じ値をとります。

　　　例えば、係数１の項は、(1,1,-1)方向として、
　　　（i,j,k)=(x,y,z)と(x+1,y+1,z-1)とで
　　　Mod(-2*i+3*j+k+(N+1)/2,N)の式の値は一致します。

　　　この方向の対角線上においては

　　　Mod()の式の値、３項は、それぞれ　　例えば（i,j,k)に、

　　　(0,0,N-1),(0,N-1,0),(N-1,0,0)のいずれかを代入した場合にあたり、

　　　ここでの式の値は丁度　Mod（ N-1＋(N+1)/2,N)となります。

　　　　　例えば、係数１の項は、(1,1,-1)方向として、
　　　　　（i,j,k)=(0,0,N-1)から,(1,1,N-2),(2,2,N-3),...,(N-1,N-1,0)
　　　　　が、同一の数字の並ぶ対角線です。

　　ここでの値は、０からN-1の中央値の（N-1)/2にあたり、
　これが対角線上に並ぶことで、この対角線の和は　他と一致します。

　　（後で、エクセルで作った図を図示します。）



以上から、Modの各項については、一直線上に並ぶN個の数字の和は一致する

ということが、立方陣が構成されていることの簡略な証明です。


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製法についての記事を?から連番で11/9現在?まで
連番で示しています。　目次として載せておきます
　現在のページを◆で示しておきます。

初めての方は?から順にどうぞ。

・４方陣
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・５方陣について
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・合成数の大きさの方陣
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・立方陣について
　４立方陣
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