数学と科学の間

先日、このmixiのコミュニティでのやりとりから、議論になって考えたことがある。
それは、「数学」は「自然科学」の一部なのか、否か、という疑問である。

私は、「否」寄りの実感がある。
それを言語化すると、「自然」「世界」「この宇宙」からのフィードバックを受ける――実験によって、あるいは理論の予言と整合的か否か、反証されるか否かという意味で――のが自然科学である。
それに対して数学は、この世界と接続することが必要条件ではない。
先述の意味でのフィードバックを受けないという点で、私には両者の「レイヤー（階層）」が異なって見える。

数学が、測量や自然法則の記述、暗号などに「役に立つ」のは、いわば結果としてそうなっているのであって、それが数学そのものの絶対的な要請ではない、ということだ。
一方、自然科学は、必ずしも工学的に「役に立つ」わけではないにせよ、この世界への理解の解像度を上げるという意味では、「役に立つ」ことを要請されているように思う。

しかし、役に立つ数学、すなわち応用数学と純粋数学との境界は曖昧な気もして、そこが困ったところである。
具体的に言えば、ゲーム理論やOR（オペレーションズ・リサーチ）は、数学ではあっても応用数学のカテゴリに入るだろう。
微分方程式を力学系に適用するのと同型ではあるのだけれど、応用数学と純粋数学の境界は明確に定義できるのだろうか。

なぜ、自然の検証を経ずに人間の頭から生み出された数学が、自然現象を記述したり分析したりするのに、これほどまでに有用であるのか。

わからない。