数学の予想をでっち上げる会コミュの素数に関する問題

Nを自然数とするとき、N^2より大きく、(N+1)^2より小さい範囲に
素数が存在することを証明せよ。

ただし、記号「^」は階乗を表すものとする。

コメント(14)

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>Nを自然数とするとき、N^2より大きく、(N+1)^2より小さい範囲に
>素数が存在することを証明せよ。

まず、以下の不等式が成り立たないと仮定する。
　　　N^2 < p < (N+1)^2

逆に言えば、
　　　p0 < N^2 < (N+1)^2 < p1

が成り立つ。(p0 < p1)
ここで、
n = N^2とすると、

1850年、チェビシェフ
定理：任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（n < p < 2n）
より、

n < (N+1)^2 < p < 2n が成り立たなければならない。
n=N^2だから、
　　　N^2 < (N+1)^2 < p < 2N^2　　　･･････(1)

しかし、同様にして
　　　(N-1)^2 < N^2 < p1 < 2(N-1)^2　　　･･････(2)

が得られる。
仮定により(1)と(2)の不等式を組み合わせると、
　　　(N-1)^2 < N^2 < (N+1)^2 < p1 < 2(N-1)^2 < 2N^2　　　･･････(3)

が得られ、さらに、
　　　(N-2)^2 < (N-1)^2 < p2 < 2(N-2)^2　　　･･････(4)

が成り立つから、
(3)に(4)を組み合わせると、
　　　(N-2)^2 < N^2 < (N+1)^2 < p2 < 2(N-2)^2 < 2N^2

これを続けると、
　　　(N-i)^2 < N^2 < (N+1)^2 < pi < 2(N-i)^2 < 2N^2

という式が得られる。(p > p1 > p2 > ... > pj)
もっと端的に言うならば、
　　　(N+1)^2 < pi < 2(N-i)^2

が成り立つことになる。
iは任意の値でよいから、この不等式は明らかに矛盾する。

よって、はじめの仮定が誤りである。

証明終了

こんなのではダメでしょうか？
即興で作った証明ｗ
正しいかどうかは保証しませんｗｗｗ

[2] mixiユーザー 02月15日 00:32

読んでみたところ、疑問点がいくつか出てきたので解説をお願いします。
ここの、疑問点は証明の否定ではなく、僕が読んでて理解できなかった部分です。

>n < (N+1)^2 まず、以下の不等式が成り立たないと仮定する。
とした後、
>n < (N+1)^2 iは任意の値でよいから、この不等式は明らかに矛盾する。

とあるので、この矛盾は最初の仮定に対する矛盾ではなく、
>n < (N+1)^2 < p < 2n が成り立たなければならない。
に対する矛盾であると思うのですが。

解説をお願いいたします。

[3] mixiユーザー 02月15日 09:39

一日たってよく見たら、この証明結構おかしいｗ
申し訳ないです；；；

一応答えられるところだけ答えますね。

>>n < (N+1)^2 < p < 2n が成り立たなければならない。
の、「(N+1)^2」がどうやって出てきたのか分かりません。

これは不等式
　　　n < p < 2n　　　･･････(1)
と
　　　p1 < N^2 < (N+1)^2 < p2　　　･･････(2)
が成り立つと仮定したとき、

　a) n = N^2
　b) 2n = 2N^2
　c) p = p2
と置き換えてやると、
　　　N^2 < p2 < 2N^2
は常に成り立ちます。
ここまではよろしいでしょうか？
続いて、
(1)と(2)の不等式を組み合わせると、
　　　p1 < N^2 < (N+1)^2 < p2 < 2N^2

が得られます。
これはa)b)c)より、
　　　p1 < n < (N+1)^2 < p < 2N^2

とすることができます。

こんな説明でよろしいでしょうか？

次の質問ですが、まさにその通りですね（爆
そもそも、
　　　N^2 < (N+1)^2 < p < 2N^2

が成り立つと仮定できても、
　　　(N-1)^2 < N^2 < p1 < 2(N-1)^2

が常に成り立つとは限らないんですよね；；；
失敗失敗ｗ

[4] mixiユーザー 02月15日 11:44

すみません。出題ミスがありました。
記号「^」は階乗の記号ではなく、乗数を表す記号でした。
（階乗の記号は「!」です。）

[5] mixiユーザー 02月15日 12:43

え、階乗なら証明は簡単なのでは？
　　　N! =1のとき全て成り立つ。

これでいいのでは？

[6] mixiユーザー 02月15日 14:11

度々すみません。
階乗ではなく、乗数です。

すみません。
p=p2が良く分かりません。
p2とは、2(N^2)より大きな素数という意味なのでしょうか？
よろしくお願いします。

[7] mixiユーザー 02月15日 17:56

ここではp2は(N+1)^2より大きく、2N^2より小さいと考えています。
p=p2としたのは、ただ記号を置き換えただけです。
つまり、
　　　n < p < 2n

が成り立つとすると、
　　　N^2 < p < 2N^2

も成り立ちますよね？
そして、
　　　N^2 < (N+1)^2 < 2N^2

という不等式も成り立ちます。
しかし、N^2と(N+1)^2の間には素数がないと仮定しているから
少なくとも、(N+1)^2 と 2N^2の間には素数がなければならない。
つまり、
　　　N^2 < (N+1)^2 < p < 2N^2

ということです。

[8] mixiユーザー 02月15日 19:16

回答ありがとうございます。
pについては、理解できました。

>　　　n が成り立つとすると、
>　　　N^2 も成り立ちますよね？
>そして、
> 　　N^2 < (N+1)^2 < 2N^2
>という不等式も成り立ちます。

とありますが、１行目の式のnにN^2を代入すると、上記文章の
>　　　N^2 　　　N^2 　　N^2 < (N+1)^2 < 2N^2 　　の行は
> 　　N^2 < (N+1)^2 < 2(N^2) 　なります。
すると、
> 　　N^2 < (N+1)^2 < 2(N^2)　　の行は、N<3のとき、不等式が成り立ちません。
（Nが大きくなると不等式は成立すると思う。）

う～ん、かなり難問だなぁ。
僕も結構前から考えてるんだけど、素数を求める式または素数の求め方が
分からないと、この問題は攻略できないのではないか、というのが、
僕の予想なのですが、何か簡単な証明方法はあるのでしょうか？

[9] mixiユーザー 02月15日 19:24

N<3のときはN^2 < (N+1)^2が成り立つのは明らかだから
N>3と考えることができますね。

この問題は恐らく簡単な証明はないでしょう･･････
というか、これ何かの未解決問題ですよね？
シロートじゃまず無理orz

[10] mixiユーザー 02月15日 20:15

あ、やっぱり分かります？
これ、未解決問題のはず。
図解雑学のフェルマーの最終定理だったと思うけど、
コラムにこの問題が載ってました（確かリーマン予想がどうとか…）。

未解決問題というだけで、解けそうにないのですが、
フェルマーの最終定理は、中学生レベルで証明可能であるという
書籍が出ています。
http://tinyurl.com/95dwk
もしかしたら、この問題も解けるかもしれませんよ。
ちなみに、先ほど述べたリーマン予想ですが、証明できたら
クレイ研究所から賞金１００万ドルが貰えるそうです。

何か新しい問題をでっち上げることができないか考え中です。

[11] mixiユーザー 02月18日 00:22

任意の数nと2nの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（n < p < 2n）
という定理にちなんで

任意の数nに対し2nと3nの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（2n < p < 3n）
という予想を考えてみたけど、これの証明よろしく

[12] mixiユーザー 02月21日 21:51

理系の会話ですなぁ・・・。介入できないけど閲覧しております。ではでは～

[13] mixiユーザー 02月22日 10:44

この休み中、Ｗｅｂや書籍を使って、とりあえず、
チェビシェフの不等式など、チェビシェフに関するものを
読んでみたのですが、この素数の定理を理解することすら、
素人には困難だと分かりました。
チェビシェフの作った定理が理解できない以上、本問題を
解答することは困難であると判断いたしました。
すみません。

[14] mixiユーザー 02月22日 19:11

ご苦労様でした。
私にも理解できない代物なので定理をいじくっただけの予想でしたが
ここまで苦労をかけてしまうとは･･････申し訳ないです。

また何か面白い予想がありましたら無責任ながらでっち上げてみたいと思いますｗ

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