数学の予想をでっち上げる会コミュのでっちあげ第2弾「六つ子素数は存在するか」

六つ子素数の定義
・pを素数とする
・p,p+2が素数のとき、これを双子素数
・p,p+2,p+6,p+8が素数のとき、これを四つ子素数（というらしいｗ）
・p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14が素数のとき、これを六つ子素数（と、しよう）

さて、六つ子素数には、
「5,7,11,13,17,19」
が存在します。

ここで問題、
「(5,7,11,13,17,19)以外に六つ子素数は存在するか？」

この証明はそれほど難しくないと思われます。
三つ子素数の解き方の応用で解けるはず（確証はなしｗ）
証明というほど厳密ではありませんが、
一応簡単に図を用いて確かめてみたところ、
六つ子素数は「5,7,11,13,17,19」以外には
存在しないだろうということになりました。

この予想というか問題は、数学的にはあまり意味のないことかもしれない･･････
そもそも、既に解かれている！？

まあ、暇をつぶしたい人はぜひ証明をお試しあれ

コメント(8)

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[1] mixiユーザー 02月24日 17:35

証明）

　六つ子素数の仮定「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」

　素数は、2を除いて全てが偶数である。

　まず、p=2の場合を考える。
　これは、p+2=2+2=4=2*2となり、六つ子素数は成り立たない。

　となると、pに入る数は奇数となる。
　ここで考えるのは、奇数は1の位が、「1,3,5,7,9」である
という点である。
　桁数が何桁になっても、1の位は「1,3,5,7,9」のどれか。
　
　ここで、新たな変数Xを定義する。Xは自然数である。
　変数Xを用いて、p1=X*10+1、p3=X*10+3、p5=X*10+5、p7=X*10+7、p9=X*10+9とすれば、1の位が「1,3,5,7,9」のどれかになる。

　p1の場合、
　「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」にp1を代入すると、
　「X*10+1,X*10+3,X*10+7,X*10+9,X*10+13,X*10+15」となる。

　p3の場合、
　「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」にp1を代入すると、
　「X*10+3,X*10+5,X*10+9,X*10+11,X*10+15,X*10+17」となる。

　p5の場合、
　「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」にp1を代入すると、
　「X*10+5,X*10+7,X*10+11,X*10+13,X*10+17,X*10+19」となる。

　p7の場合、
　「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」にp1を代入すると、
　「X*10+7,X*10+9,X*10+13,X*10+15,X*10+19,X*10+21」となる。

　p9の場合、
　「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」にp1を代入すると、
　「X*10+9,X*10+11,X*10+15,X*10+17,X*10+21,X*10+23」となる。

　少々回りくどい書き方になったので、理解できなかったかもしれないが、言いたかったのは、素数は奇数であり、奇数は１の位が「1,3,5,7,9」である。
１の位が「1,3,5,7,9」である数を六つ子素数の仮定の式に代入すると、出てくる6つの数のうち、必ず1つは、1の位が「５」になることに注目してもらいたい。（その説明が上記のp1～p9）
1の位が「５」になる場合、桁数がどのくらい大きくなっても、必ず5で割り切れる。
そして、素数が奇数で無い場合はp=2として計算し、六つ子素数はできなかった。
よって、六つ子素数は6つの数のうち、少なくとも1つは1の位が4か5になるので、六つ子素数は存在しない。

（終了）

[2] mixiユーザー 02月24日 18:29

追加：

　上記証明に抜けがありましたので追加します。

　「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」に当てはめたとき、生成される数が5であった場合、5は素数のため、5で割り切れるという上記証明に当てはまりません。
つまり、「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」により5が生成される場合だけ、別途考察する必要があります。

「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」により5が生成されるのは、p=3のときと、p=5のときです。
六つ子素数の例としてp=5の場合、六つ子素数になると示されているため、p=3のときを調べます。

p=3のとき、
「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」＝「3,5,9,11,15,17」
p=3のとき、2つの合成数ができたので、p=3のとき、六つ子素数の仮定は成り立たない。

よって、p=5を除いて、六つ子素数の式「p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14」は成り立たない。

[3] mixiユーザー 02月24日 19:41

お早い解答ありがとうございます。
大体予想したとおりの証明方法で安心しましたｗ
恐らく模範解答ですね。

ただ、私はp=3の場合を考慮していませんでした･･････
盲点だったorz

あと、たぶん書き間違いだろうとは思いますが
>1の「素数は、2を除いて全てが偶数である。」は
偶数ではなく奇数ですよね？

話は変わりますが、
このコミュニティのレベルはコレぐらいがちょうどいいのでしょうか？
それよりもっと上か？下か？

[4] mixiユーザー 02月24日 21:30

ごめんなさい。
勘違いしてました。
pは自然数ではなく、素数を代入するものだと思い、話を進めてしまいました。

なので、上記証明は誤りです。

でも、pに奇数を入れれば1の位が5になる数ができるし、偶数は明らかに2で割れるので偶数は入らない。
あとは、pが5以下のときについて、式に代入していけば、p=5のときしか成立しないので、六つ子素数はp=5のときしかありえないと言えるのです。

このコミュニティはコレでいいと思います。
1つ1つ予想をでっち上げないと、証明できないまま迷宮入りするものが出てくると思うので。

このコミュニティに画像がなかったので付けてみました。
この画像の人物、誰か分かりますか？

[5] mixiユーザー 02月26日 09:36

画像見ました。（昨日いや一昨日か）
見覚えあるんですけど名前が思い浮かばない･･････

超有名人だということははっきりとわかるんだけど
ぐぐっても出てこないorz

最初、デカルトかと思ったんだけど全然顔が違っていたｗ
髪形は似てたんだけど･･････ねえ
（ていうか昔のヨーロッパの人は皆こんな髪型？）

恐らくこのコミュニティの趣向から言って数学者なんだろうけど

[6] mixiユーザー 02月26日 09:43

追記
>4
>勘違いしてました。
>pは自然数ではなく、素数を代入するものだと思い、話を進めてしまいました。

pには素数が入ります。あってますよ？

[7] mixiユーザー 02月26日 17:56

pには素数でよかったんですね…。orz
勘違いが多くなってきた…。orz

写真の人物は、(x^n)+(y^n)=(z^n) の式で有名な、ピエール・ド・フェルマーです。

[8] mixiユーザー 02月26日 18:34

ああ、フェルマーでしたか･･････フェルマー･･････
そりゃ見覚えがあるはずだｗ

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