アンリ・ポアンカレ

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詳細 2024年5月10日 13:01更新: アンリ・ポアンカレについてのコミュニティです。
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ポアンカレ予想って解決したんでしょうか。
どうもマユツバな感じがして。。。

（3次元）ポアンカレ予想（ポワンカレ予想とも）とは、「単連結な 3次元閉多様体は 3次元球面 S3 に同相である」というものであり、1904年に、フランスの数学者アンリ・ポアンカレ (Jules Henri Poincaré, 1854年4月29日 - 1912年7月17日) によって提出された。現在未解決である。（近いうちに解決されるかも知れません。現在チェックされている、かなり有望な"証明"があるそうです）

ポアンカレ予想は一般化（高次元に拡張）できる。それは次のようなものである。

n 次元ホモトピー球面は n 次元球面に同相である
このようにポアンカレ予想を n 次元に一般化すると、n = 2 での成立は古典的な事実であり、n ≥ 4 の場合は既に証明が得られている。n ≥ 5 の時はステファン・スメールによって（1960年）、n = 4 の時はマイケル・フリードマンによって（1981年）証明された。両人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメールの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果は、その直後にドナルドソンによる異種 4 次元ユークリッド空間（位相的には通常の 4 次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。

3 次元ポアンカレ予想について、サーストンの幾何化予想（サーストンのプログラム）があり、これは3次元多様体の分類に関するものである。この予想は 3 次元ポアンカレ予想を含み、大変壮大なものである。

米クレイ数学研究所はポアンカレ予想を証明した者に100万ドル（約1億1000万円）の賞金を与えると公言している。2002年ステクロフ数学研究所に勤務するロシア人科学者のグリゴーリ・ペレルマン博士はポアンカレ予想の証明を発表し、現在多くの研究者によって証明の検証がされている。

2004年9月29日現在、検証段階ではあるものの、多くの数学者がペレルマン博士の証明は正しいと考えている。