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コメント(314)
275: Sparrowhawkさん
263で私が (−1)(−1)＝１ を証明するために、
(−1)(−1) が −1 の逆元であることを証明し、
よって 、(−1)(−1)＝１
としたのです（この部分の証明は正しいと思います）が、
あとから266や269を見てみると、やってることは同じで、
266や269の方が、本質をズバリと突いてるなぁ、と感じた次第です。
>「a ＋ x = x ＋ a = 0 となる x がただ一つ存在する，」…(1)
これはＯＫだと私は思います。
> したがって， -(-a) = a。
これをいうためには、(-a)+(-(-a)) = 0
を言っておく必要があると、私は思います。
(1)の下の行ですでに言われてる、とも取れますが。
263で私が (−1)(−1)＝１ を証明するために、
(−1)(−1) が −1 の逆元であることを証明し、
よって 、(−1)(−1)＝１
としたのです（この部分の証明は正しいと思います）が、
あとから266や269を見てみると、やってることは同じで、
266や269の方が、本質をズバリと突いてるなぁ、と感じた次第です。
>「a ＋ x = x ＋ a = 0 となる x がただ一つ存在する，」…(1)
これはＯＫだと私は思います。
> したがって， -(-a) = a。
これをいうためには、(-a)+(-(-a)) = 0
を言っておく必要があると、私は思います。
(1)の下の行ですでに言われてる、とも取れますが。
>276 森羅万象知りたがりや さん
>>「a ＋ x = x ＋ a = 0 となる x がただ一つ存在する，」…(1)
>
>これはＯＫだと私は思います。
そうでなければ，263 の証明は根拠を失いますよね？
>266や269の方が、本質をズバリと突いてるなぁ
「加法の逆元の存在とその一意性」が成り立つ「から」「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」となる，というより「本質的」な感じがしますよね？
>これをいうためには、(-a)+(-(-a)) = 0
>を言っておく必要があると、私は思います。
(1) とその下の -a の定義，および，
>(-a) + a = a ＋ (-a) = 0
では不十分でしょうか？
>>「a ＋ x = x ＋ a = 0 となる x がただ一つ存在する，」…(1)
>
>これはＯＫだと私は思います。
そうでなければ，263 の証明は根拠を失いますよね？
>266や269の方が、本質をズバリと突いてるなぁ
「加法の逆元の存在とその一意性」が成り立つ「から」「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」となる，というより「本質的」な感じがしますよね？
>これをいうためには、(-a)+(-(-a)) = 0
>を言っておく必要があると、私は思います。
(1) とその下の -a の定義，および，
>(-a) + a = a ＋ (-a) = 0
では不十分でしょうか？
>289 きり さん
「単位元と逆元の存在」＋「結合律」
から「逆元の一意性」は従いますよね。
でも，
「単位元と逆元の存在」＋「逆元の一意性」
から「結合律」が導かれるでしょうか？
「逆元の一意性」は「結合律」より真に弱いなら，「結合律」を用いて「逆元の一意性」を導いても…と思ったのです。
また，
「単位元と逆元の存在」＋「結合律の否定」
から矛盾は導かれるでしょうか？
「単位元と逆元の存在」と「結合律」が独立なら，「マイナス」を考えるのに「結合律」を持ち出すのは…とも。
逆に，×がでてくるには「分配律」（ないしなんらかの＋と×の関係にかかわるもの）は前提にしなければでしょう。
そしてこういった代数学的考察が「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」の「本質」なんだろうかと…。
むしろ幾何的なもの，たとえば「逆向きの逆向き」あるいは，「x，y の 1 次方程式は直線を表す（1次関数のグラフは直線）」などが「本質」に近いかもと…。
「単位元と逆元の存在」＋「結合律」
から「逆元の一意性」は従いますよね。
でも，
「単位元と逆元の存在」＋「逆元の一意性」
から「結合律」が導かれるでしょうか？
「逆元の一意性」は「結合律」より真に弱いなら，「結合律」を用いて「逆元の一意性」を導いても…と思ったのです。
また，
「単位元と逆元の存在」＋「結合律の否定」
から矛盾は導かれるでしょうか？
「単位元と逆元の存在」と「結合律」が独立なら，「マイナス」を考えるのに「結合律」を持ち出すのは…とも。
逆に，×がでてくるには「分配律」（ないしなんらかの＋と×の関係にかかわるもの）は前提にしなければでしょう。
そしてこういった代数学的考察が「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」の「本質」なんだろうかと…。
むしろ幾何的なもの，たとえば「逆向きの逆向き」あるいは，「x，y の 1 次方程式は直線を表す（1次関数のグラフは直線）」などが「本質」に近いかもと…。
途中から割り込み失礼します。言葉の問題でもありますが、中学生がどうしても知りたいと言ったときに自分がしている説明です。
まず、掛け算というのは元々は同じものの足し算であったはずです。例えば、
３×５
は、３を５回足すということです。では、足すといっても何に足しているのか？ということになりますが、これは０を基準として考えているので、もちろん０に足しているのです。つまり、先の式は０に３を５回足すということです。では、これを踏まえて
（−３）×（−２）
を考えます。これは０に（−３）を（−２）回足すということですが、（−２）回足すというところは、２回引くと言い換えられます。つまり、０から（−３）を２回引くということです。さらに、負の数を引くということは、正の数を足すと言い換えられるので、最終的には、０に３を２回足すとなります。このことから
負×負＝正×正＝正
となる。
って感じです。こんな考え方はどうですか？代数などの考えは使わずに小学校の考え方のみなので、中学生にもわかると思うのですが。
まず、掛け算というのは元々は同じものの足し算であったはずです。例えば、
３×５
は、３を５回足すということです。では、足すといっても何に足しているのか？ということになりますが、これは０を基準として考えているので、もちろん０に足しているのです。つまり、先の式は０に３を５回足すということです。では、これを踏まえて
（−３）×（−２）
を考えます。これは０に（−３）を（−２）回足すということですが、（−２）回足すというところは、２回引くと言い換えられます。つまり、０から（−３）を２回引くということです。さらに、負の数を引くということは、正の数を足すと言い換えられるので、最終的には、０に３を２回足すとなります。このことから
負×負＝正×正＝正
となる。
って感じです。こんな考え方はどうですか？代数などの考えは使わずに小学校の考え方のみなので、中学生にもわかると思うのですが。
>290
>逆に，×がでてくるには「分配律」（ないしなんらかの
>＋と×の関係にかかわるもの）は前提にしなければ
そういえば，
「a + (-1)×a = a×(-1) + a = 0」は「分配律」を導くでしょうか？
あるいは「分配律の否定」と矛盾するでしょうか？
「分配律」を仮定する方が「a + (-1)×a = a×(-1) + a = 0」を仮定するより強いのなら，代数学的には，
「単位元と逆元の存在」と「逆元の一意性」（「-a」 が定義できる）
「a + (-1)×a = a×(-1) + a = 0」
あたりが「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」の必要最小限の「前提」かも…。
>逆に，×がでてくるには「分配律」（ないしなんらかの
>＋と×の関係にかかわるもの）は前提にしなければ
そういえば，
「a + (-1)×a = a×(-1) + a = 0」は「分配律」を導くでしょうか？
あるいは「分配律の否定」と矛盾するでしょうか？
「分配律」を仮定する方が「a + (-1)×a = a×(-1) + a = 0」を仮定するより強いのなら，代数学的には，
「単位元と逆元の存在」と「逆元の一意性」（「-a」 が定義できる）
「a + (-1)×a = a×(-1) + a = 0」
あたりが「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」の必要最小限の「前提」かも…。
>294 わたやん さん
「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」を代数的に考えるとき，「分配律」まで前提にする必要があるかないか？が気になっています。
なんらかの＋と×の関係は前提にしなければ，「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」はいえないでしょう。
「分配律」と「積の単位元の存在」が「前提」となると，-(-a) = (-1)×a となりますから，おっしゃるような意味では区別はありますが，等式の上では区別できなくなる。
「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)となる」
ことと
「「マイナスのマイナス」と「(マイナス)×(マイナス)」の区別をしない」
ことの関係が気になるのです…。
「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」を代数的に考えるとき，「分配律」まで前提にする必要があるかないか？が気になっています。
なんらかの＋と×の関係は前提にしなければ，「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」はいえないでしょう。
「分配律」と「積の単位元の存在」が「前提」となると，-(-a) = (-1)×a となりますから，おっしゃるような意味では区別はありますが，等式の上では区別できなくなる。
「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)となる」
ことと
「「マイナスのマイナス」と「(マイナス)×(マイナス)」の区別をしない」
ことの関係が気になるのです…。
「＋の単位元と逆元の存在」の下で，
「＋の逆元の一意性」かつ「-(a×b) = (-a)×b = a×(-b)」…(A)
は
「＋の結合律」かつ「＋と×の分配律」…(B)
から証明でき，
「＋の結合律の否定」や「＋と×の分配律の否定」
とは矛盾しない，すなわち。(B) は (A) より真に強い。
したがって，「結合律」や「分配律」を用いた 44 のような「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」の「証明」や整数の定義に基づいた「証明」は「本質的」ではない。
「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」にとって 「-a」の定義ができ（逆元が存在して一意），「マイナスのマイナス」と「(マイナス)×(マイナス)」の区別をしないこと（-(a×b) = (-a)×b = a×(-b)）が代数的には「本質的」。
その「本質」は幾何的なもの，すなわち，「逆向きの逆向き（対称変換ないし１８０度回転）」あるいは「正比例（一次関数あるいは線型性）」に由来する。
…いまのところそんな感じがしています。
「＋の逆元の一意性」かつ「-(a×b) = (-a)×b = a×(-b)」…(A)
は
「＋の結合律」かつ「＋と×の分配律」…(B)
から証明でき，
「＋の結合律の否定」や「＋と×の分配律の否定」
とは矛盾しない，すなわち。(B) は (A) より真に強い。
したがって，「結合律」や「分配律」を用いた 44 のような「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」の「証明」や整数の定義に基づいた「証明」は「本質的」ではない。
「(マイナス)×(マイナス)＝(プラス)」にとって 「-a」の定義ができ（逆元が存在して一意），「マイナスのマイナス」と「(マイナス)×(マイナス)」の区別をしないこと（-(a×b) = (-a)×b = a×(-b)）が代数的には「本質的」。
その「本質」は幾何的なもの，すなわち，「逆向きの逆向き（対称変換ないし１８０度回転）」あるいは「正比例（一次関数あるいは線型性）」に由来する。
…いまのところそんな感じがしています。
学知の体系の生成には、（１）認識的発展、（２）歴史的発展、（３）論理的発展の３つがあると思います。
（１） は、一個人が成長しながら認識が発展し、学知が構成されていくこと。
（２） は、人類が歴史的に進歩しながら、学知が構成されていくこと。
（３） は、学知を論理的に厳格に構成していくこと。
（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の計算規則が正しい理由についても、ここでの議論は、ずっと（３）を問題にしてきて、時々（１）を問題にする発言があったように思います。（19番、20番、291番とか）
（１）のレベルで、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の規則の正しさを説明するなら、次のようになると思います。
この規則は、中1で習うわけですが、それまでに、次の規則を習ってきています。
２×３＝２＋２＋２＝６ （掛算は同じ数の足し算になること。逆もまた真。）
２×３＝３×２ （掛算の交換法則）
２×３＝６ ６÷３＝２ （掛算と割算が逆演算であること）
６÷３＝６×1/3 （割算は掛算になること。逆もまた真。）
これらの規則がマイナスの数についても成立することを前提にするなら、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の規則は導けます。
つまり、
（−２）＋（−２）＋（−２）＝（−２）×３＝（−６）
（−６）÷（−２）＝３
（−６）×（−1/2）＝３
ということを、古代中国の紀元1世紀頃の数学書『九章算術』を読みながら、気がついたのです。
（２）歴史的発展のレベルにおける（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の規則の生成について、なのです。
古代中国では、赤色の算木で正数を表し、黒色の算木で負数を表し、連立方程式の係数部分をこの算木で表して、加減法のやり方で連立方程式を解くように、問題を解いていたことはご存知かと思いますが、『九章算術』では、このとき「正負術」として、次のように記しています。
「同名相除、異名相益、正無入負之、負無入正之、其異名相除、同名相益、正無入正之、負無入負之」
http://chinese.dsturgeon.net/text.pl?node=51662&if=gb
意味は、こうなります。（『世界の名著 中国の科学』151頁、大矢真一訳）
「引き算のとき、同名（同符号の数）は引き、異名（異符号の数）は加える。正を無入（ゼロ）から引いたのは負とし、負を無入から引いたのは正とする。たし算のとき、異名は引き、同名は加える。正と無入とでは正、負と無入とでは負とする。」
『九章算術』では、「正負術」についてはこれだけで、乗除についての規則は記していないのです。正負の乗除について記してある文献は、13世紀まで待たなくてはなりません。例えば、『算学啓蒙』（元代、1299年）には、「正負術」として、加減について、『九章算術』の先の文言を載せた後（但し、「除」は「減」に、「益」は「加」に、「入」は「人」に変更）、乗法について、こう記します。
「同名相乗為正、異名相乗為負」
http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=009864&km=11
同符号の掛算は正、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）と書いてあるわけです。
しかし、正負の乗法は、『九章算術』のときにもなされていたはずです。係数の異なる連立方程式は、少なくとも、（負×正）の掛算をしなくては、加減法では解けません。その過程で、（負×負）の掛算の規則についても意識したはずです。その規則は、それまでの計算規則を前提として導いたのでしょう。先に、初めて中学生が正負の計算ルールを教わるときの導き方として記したように。そうして、千年以上経って、初めて解法（術）として明文化された。
認識発展と歴史発展はシンクロしている。個体発生が系統発生を繰り返すように、と思うのです。
（１） は、一個人が成長しながら認識が発展し、学知が構成されていくこと。
（２） は、人類が歴史的に進歩しながら、学知が構成されていくこと。
（３） は、学知を論理的に厳格に構成していくこと。
（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の計算規則が正しい理由についても、ここでの議論は、ずっと（３）を問題にしてきて、時々（１）を問題にする発言があったように思います。（19番、20番、291番とか）
（１）のレベルで、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の規則の正しさを説明するなら、次のようになると思います。
この規則は、中1で習うわけですが、それまでに、次の規則を習ってきています。
２×３＝２＋２＋２＝６ （掛算は同じ数の足し算になること。逆もまた真。）
２×３＝３×２ （掛算の交換法則）
２×３＝６ ６÷３＝２ （掛算と割算が逆演算であること）
６÷３＝６×1/3 （割算は掛算になること。逆もまた真。）
これらの規則がマイナスの数についても成立することを前提にするなら、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の規則は導けます。
つまり、
（−２）＋（−２）＋（−２）＝（−２）×３＝（−６）
（−６）÷（−２）＝３
（−６）×（−1/2）＝３
ということを、古代中国の紀元1世紀頃の数学書『九章算術』を読みながら、気がついたのです。
（２）歴史的発展のレベルにおける（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の規則の生成について、なのです。
古代中国では、赤色の算木で正数を表し、黒色の算木で負数を表し、連立方程式の係数部分をこの算木で表して、加減法のやり方で連立方程式を解くように、問題を解いていたことはご存知かと思いますが、『九章算術』では、このとき「正負術」として、次のように記しています。
「同名相除、異名相益、正無入負之、負無入正之、其異名相除、同名相益、正無入正之、負無入負之」
http://chinese.dsturgeon.net/text.pl?node=51662&if=gb
意味は、こうなります。（『世界の名著 中国の科学』151頁、大矢真一訳）
「引き算のとき、同名（同符号の数）は引き、異名（異符号の数）は加える。正を無入（ゼロ）から引いたのは負とし、負を無入から引いたのは正とする。たし算のとき、異名は引き、同名は加える。正と無入とでは正、負と無入とでは負とする。」
『九章算術』では、「正負術」についてはこれだけで、乗除についての規則は記していないのです。正負の乗除について記してある文献は、13世紀まで待たなくてはなりません。例えば、『算学啓蒙』（元代、1299年）には、「正負術」として、加減について、『九章算術』の先の文言を載せた後（但し、「除」は「減」に、「益」は「加」に、「入」は「人」に変更）、乗法について、こう記します。
「同名相乗為正、異名相乗為負」
http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=009864&km=11
同符号の掛算は正、（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）と書いてあるわけです。
しかし、正負の乗法は、『九章算術』のときにもなされていたはずです。係数の異なる連立方程式は、少なくとも、（負×正）の掛算をしなくては、加減法では解けません。その過程で、（負×負）の掛算の規則についても意識したはずです。その規則は、それまでの計算規則を前提として導いたのでしょう。先に、初めて中学生が正負の計算ルールを教わるときの導き方として記したように。そうして、千年以上経って、初めて解法（術）として明文化された。
認識発展と歴史発展はシンクロしている。個体発生が系統発生を繰り返すように、と思うのです。
論理的関係に注目すると、
(-1)×(-1) = 1 が成立する理由は次のようにまとめることができます。
?「分配法則が成り立つ ⇒ （整数）× ０ ＝ ０ 」 が成り立ち、
?「 （整数）× ０ ＝ ０ ⇒ (-1)×(-1) ＝ １ 」 が成り立つ。
ゆえに
?「 分配法則が成り立つ ⇒ (-1)×(-1) ＝ １ 」
となります。
?の証明：
a ＋ a・０ ＝ a・１ ＋ a・０ ＝ a・（１＋０） ＝ a・１ ＝ a
両辺から a を引くと、 a・０ ＝ ０
?の証明：
−１ ＋ (-１)・(-１) ＝ (-１)・１ ＋ (-１)・(-１) ＝ (-１)・（ １ ＋(-１) ) = (-１)・０ ＝ ０
両辺に １ を加えると (-１)・(-１) ＝ １
?と?が示せたので自動的に?が示されます。
自然数の積に対して、整数の積はちょっと複雑。
柳原、織田著「数をとらえ直す」
などを参考にしてみればどうでしょう。
(-1)×(-1) = 1 が成立する理由は次のようにまとめることができます。
?「分配法則が成り立つ ⇒ （整数）× ０ ＝ ０ 」 が成り立ち、
?「 （整数）× ０ ＝ ０ ⇒ (-1)×(-1) ＝ １ 」 が成り立つ。
ゆえに
?「 分配法則が成り立つ ⇒ (-1)×(-1) ＝ １ 」
となります。
?の証明：
a ＋ a・０ ＝ a・１ ＋ a・０ ＝ a・（１＋０） ＝ a・１ ＝ a
両辺から a を引くと、 a・０ ＝ ０
?の証明：
−１ ＋ (-１)・(-１) ＝ (-１)・１ ＋ (-１)・(-１) ＝ (-１)・（ １ ＋(-１) ) = (-１)・０ ＝ ０
両辺に １ を加えると (-１)・(-１) ＝ １
?と?が示せたので自動的に?が示されます。
自然数の積に対して、整数の積はちょっと複雑。
柳原、織田著「数をとらえ直す」
などを参考にしてみればどうでしょう。
一般に、可換群Aの自己準同型のなす集合 E:= End(A)は、自然な環構造を持ちます。
すなわち、Eの積は、写像の合成そのもの、Eの加法は、Aの積から自然に定まるものとします。このとき、Eの単位元はAの恒等写像、またEの零元は、Aの任意の元をAの単位元に写す準同型、となります。
さらに、Aの自己同型群Aut(A)は、Eの可逆元のなす（乗法）群E^×と一致します。
さて今、Aとして無限巡回群Cをとります。Cは１個の元で生成されますが、Cをそれ１個で生成できる元は、２つしかありません。したがって（例えばCが自由群であることから直ちに）、Aut(C)は２元からなる群と分かります。
ここで、End(C)が整数環Zと（カノニカルに）同型であることに着目します。上で述べたことから、Zの可逆元の群 Z^×は２元からなります。そこで、Z^×の単位元１と異なる元を(-1)とおきます。このとき(-1)の逆元は（１とはなりえないので）(-1)自身です。したがって
(-1) × (-1) ＝１
を得ます。
すなわち、Eの積は、写像の合成そのもの、Eの加法は、Aの積から自然に定まるものとします。このとき、Eの単位元はAの恒等写像、またEの零元は、Aの任意の元をAの単位元に写す準同型、となります。
さらに、Aの自己同型群Aut(A)は、Eの可逆元のなす（乗法）群E^×と一致します。
さて今、Aとして無限巡回群Cをとります。Cは１個の元で生成されますが、Cをそれ１個で生成できる元は、２つしかありません。したがって（例えばCが自由群であることから直ちに）、Aut(C)は２元からなる群と分かります。
ここで、End(C)が整数環Zと（カノニカルに）同型であることに着目します。上で述べたことから、Zの可逆元の群 Z^×は２元からなります。そこで、Z^×の単位元１と異なる元を(-1)とおきます。このとき(-1)の逆元は（１とはなりえないので）(-1)自身です。したがって
(-1) × (-1) ＝１
を得ます。
はじめまして。
自分は、数学というのはあくまで定義によるもので、
出来る限り有用な定義をしているのかなと思っていました。
まず、「−1は0よりも1小さい数」として定義された。
すると、例えば
2×3＝6
2×2＝4
2×1＝2
2×0＝0
6,4,2,0…というように、
「数を1小さくするにつれて2小さくなる」という法則があります。
では、2に0より1小さい数である-1をかけたとき、
これを2にしてしまったら、法則が崩れてしまう。
この法則を保護するには、0から2小さい数である-2にしてあげると守れる。
また、ｙ＝2ｘという式を考えたとき、
プラス×マイナスをプラスと定義した場合には、
ｙの値が決定しても、ｘが一意に決定しないという不具合も生じる。
よって、プラス×マイナスはマイナスと定義することが有用である。
こんな感じかなのかなー、とか。
1を素数としてしまうと素因数分解が一つに決定しないから、
1は素数とは定義しない、みたいなのと同じで。
自分は、数学というのはあくまで定義によるもので、
出来る限り有用な定義をしているのかなと思っていました。
まず、「−1は0よりも1小さい数」として定義された。
すると、例えば
2×3＝6
2×2＝4
2×1＝2
2×0＝0
6,4,2,0…というように、
「数を1小さくするにつれて2小さくなる」という法則があります。
では、2に0より1小さい数である-1をかけたとき、
これを2にしてしまったら、法則が崩れてしまう。
この法則を保護するには、0から2小さい数である-2にしてあげると守れる。
また、ｙ＝2ｘという式を考えたとき、
プラス×マイナスをプラスと定義した場合には、
ｙの値が決定しても、ｘが一意に決定しないという不具合も生じる。
よって、プラス×マイナスはマイナスと定義することが有用である。
こんな感じかなのかなー、とか。
1を素数としてしまうと素因数分解が一つに決定しないから、
1は素数とは定義しない、みたいなのと同じで。
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