数学コミュの大学数学(解析学) 分からない問題はここに書いてね No.3

「大学数学（解析学）　分からない問題はここに書いてね No.2」のトピックの書き込みが1000件に達したので、作成させていただきました。

※大学数学レベルの解析学の単発質問はここにお願いします。その他の単発質問は他の適切なトピックにお願いします。

質問する時は、
・丸投げはしない。
・どこまで分かっていて、どこが分からないのかを明記する。
・自分で解決した場合は、他の人の為にその結果を書き込む。
・時々、質問される方が問題を誤解していたり、大事な条件を見落としていたりする事があるので、お互い無駄な時間を浪費しない為にも問題の全文を書く、出典元や分野を書くなどしておいた方が無難でしょう。
・質問する際には自己の責任を持って書き込み、回答が得られた後に理由無く質問を削除しない。
などに気を付けて、気持ち良く交流しましょう。

また、書き込みをする前に、問題に間違いが無いか再度見直しをして下さい。

悪い例．
「～という問題を解いて下さい。」←だけ。
「～という問題が分かりません。」←だけ。

回答される人達は、ヒントだけを示す事が多いようなので、答えが欲しい場合は、ヒントを元に自分で考えた結果や過程を書き込むと良いでしょう。

なお、回答される方々は、学校でのレポートや宿題の不正な代行を防ぎ、自力での解決を促す意味で、ご面倒でしょうがあまり最初から懇切丁寧な解答を与えないようお願いします。せめて、最後の「まとめ」ぐらいは自力でして欲しいからです。

注意．
ここ数年、ネットさえあれば思考力や自力での勉強は全く不要と考える学生がかなり増え、全国的な学力低下に更に拍車をかけていますので、どうかくれぐれも宜しくお願い致します。

コメント(603)

最初
全て
最新の40件

前

[564] mixiユーザー 08月22日 10:40

>>[563]

はじめに確認ですが、「無理数の角度」とは、タンジェントが無理数になる角度という意味ですね。「有理数の点以外（すなわち無理数）はすべて埋め尽くせる」というのはどういうことかなぁ。リンク先のYoutubeの例で１辺の長さを１とした数直線と考えるとき、その1辺の上にある無理数すべてに「光線がぶち当たるか」ということでしょうか。

答は否だと思います。
３０度の角で照射し始めれば、ぶつかる点はすべて√３がらみの数ばかりでしょう。ａ＋ｂ√３　（a,bは０＜ａ＋ｂ√３＜１を満たすすべての整数a,bの組）で辺にぶつかるのでは？（まだ確信はないけど笑）　－２＋√７　とか　９－３ｅ　とかには何回反射しても無理だと思います。正方形の１辺を無理数にしたら適当な角度で有理数に当たると思われますが…それも限られた有理数ですね。

そもそもタンジェントが有理数の場合も、角度を１つ決めた状態ではすべての有理数に当たるとうわけではないのでは？

違ってたらごめんなさい。

[565] mixiユーザー 08月22日 12:40

>>[564]
ありがとうございます。
説明が悪かったですね、仰る通りtanθが無理数か有理数かということですね。

動画で言ってることは、1:1の2次元の部屋では、レーザ照射角度θとして、
・tanθが有理数だと、角に当たって終わるか、閉軌道になる。
→すべての点を埋め尽くさない

・tanθが無理数だと、角に当たらず、閉軌道にもならず、無限に反射し続ける。
→このとき、tanθが有理数のとき通る点以外の全てを埋め尽くすか？

ということです。

確かに√3関連のtanθなら、√3関連の点しか通らない気がします（部屋のサイズが1:1のとき）。
もし、πやeを通れば、πやeの特殊性？を侵してしまう気がします。
部屋を無限に並べた状態を考えれば、通る点は
y=tanθ*x+a
(aはレーザ発射点のオフセット)
を折り返した点ですね。

あとは、この折り返しを数式で表せたらいいんですが…。

[566] mixiユーザー 12月28日 17:44

すみません、初歩の初歩かもしれませんが、分からなくなりましたので教えてください。

複素指数関数の定義ですが、
①実数の指数関数のマクローリン展開式にｚを代入したものを定義とする
②e^z=e^(x+yi)=e^x(cos(y)+i sin(y))で定義する
の２つがあって、それらは同等だというのですが、そこがわかりません。

また、①の定義から指数法則が成り立つことを示すのができません。

お教えいただくか、はっきりと書いてあるサイトをご紹介いただきたいのです。
よろしくお願いします。

[567] mixiユーザー 12月29日 14:49

>>[566]

簡単な話からいくと、

e^z、sin z、cos zのマクローリン展開：

e^z=1+z+z^2/2!+z^3/3!+…
sin z=z-z^3/3!+z^5/5!-…
cos z=1-z^2/2+z^4/4!-…

zが純虚数（iy）であれば、①

②は以下のようになりますね。

e^(iy)
=1+iy+(iy)^2/2!+(iy)^3/3!+(iy)^4/4!+(iy)^5/5!+…
=1+iy-y^2/2!-i(y^3/3!)+y^4/4!+i(y^5/5!)-…
=(1-y^2/2!+y^4/4!-…)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-…)
=cos y + i・sin y　（オイラーの公式）

②から指数法則（e^z・e^w=e^(z+w)）を導く方法は以下のページに書いてありました。加法定理を使うようです。

複素数の指数関数・対数関数・べき関数
https://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/2.html

①から指数法則が導き出せるかですけど、

e^z・e^w=(1+z+z^2/2!+z^3/3!+…)・(1+w+w^2/2!+w^3/3!+…)
e^(z+w)=1+(z+w)+(z+w)^2/2!+(z+w)^3/3!+…

とガチにやろうとすると、わけわからなくなってだめですね(^^;)。
二項定理を使うとうまく変形できるとかあるのかなとか思ったりして(^^;)。

[569] mixiユーザー 12月29日 17:01

>>[567]

コメントありがとうございます。
そのURLのページは読んでいます。それは定義は②のほうですね。

「e^z、sin z、cos zのマクローリン展開：」　とお書きになっていますが、マクローリン展開ができるためにはその関数e^z、sin z、cos zがすでに定まっていなければいけませんよね（なぜなら微分とかf(0)の値とかを使うのですから）。ですからそれらのマクローリン展開とお書きになった式は、やはり実はマクローリン展開ではなく定義なのではないでしょうか。あるいは②の定義で複素指数関数を定めた後、微分や関数値f(0)を使ってマクローリン展開したものかもしれませんが。

オイラーの公式を導くために使うe^iyという表現は、ネット上の多くは「実関数e^xに虚数を代入していい」という明確な理由もないまま代入しています。もし代入するなら複素指数関数e^zを①か②の方法で定義しておかなければだめですよね。オイラーの公式を示すために代入した、というのは認められないのでは？

印象ですが、①は実数関数e^xのマクローリン展開の「形をまねて」定義したもの。②は複素指数関数でも指数法則が成り立っていなければならないという希望を信じれば「e^z=e^(x+yi)=e^x・e^yi=e^x(cos(y)+i sin(y))」となるはずだから、こいつを定義にしてしまえ、そうすれば指数法則は簡単に導かれるし…ということか。こちらのほうでは複素三角関数の定義はマクローリン展開っぽい式ではなく、e^zとe^(-z)を用いて定義していますね。たしかにこのほうがスッキリしています。

で、やはり①で定義される関数と②で定義される関数が同一のものなのかがまだわかりません。また①の定義から指数法則をどうやって示せるのかわかりません。

[570] mixiユーザー 12月29日 17:47

>>[569]

e^xのマクローリン展開，三角関数との関係
https://manabitimes.jp/math/1161

ここを見ると、

e^z・e^w=(1+z+z^2/2!+z^3/3!+…)・(1+w+w^2/2!+w^3/3!+…)=1+(z+w)+(z+w)^2/2!+(z+w)^3/3!+…=e^(z+w)

となるかどうかの確認は、「自分でやれ」と言われちゃってますね(^^;)。
上記のような変形はできるということのようですけど、具体的にどうやればできるのかは、いまのところちょっとわからないですね(^^;)。

[572] mixiユーザー 12月29日 18:50

>>[569]

とりあえず、

e^z・e^w=(1+z+z^2/2!+z^3/3!+…)・(1+w+w^2/2!+w^3/3!+…)

これを3次の項まで展開してみると、

1+z+w+zw+z^2/2+z^2・w/2+z^2・w^2/4+w^2/2+z・w^2/2+z^3/6+w^3/6+…
=1+(z+w)+(z^2/2+zw+w^2/2)+(z^3/6+z^2・w/2+z・w^2/2+w^3/6)+z^2・w^2/4+…
=1+(z+w)+(z+w)^2/2!+(z+w)^3/3!+z^2・w^2/4+…

となるので、

(1+z+z^2/2!+z^3/3!+…)・(1+w+w^2/2!+w^3/3!+…)=1+(z+w)+(z+w)^2/2!+(z+w)^3/3!+…

となりそうな予測がつくのですが、いかがでしょうね？

[573] mixiユーザー 12月30日 17:11

S_1(n)=(Σ[k=0 to n](z^k/k!))・(Σ[k=0 to n](w^k/k!))=(1+z+z^2/2!+z^3/3!+…+z^n/n!)・(1+w+w^2/2!+w^3/3!+…+w^n/n!)
S_2(n)=(Σ[k=0 to n]((z+w)^k/k!))=1+(z+w)+(z+w)^2/2!+(z+w)^3/3!+…+(z+w)^n/n!

n=0:
s_1(0)=1=S_1(0)

n=1:
s_1(1)=(1+z)(1+w)
=1+z+w+zw
=1+(z+w)+zw
=S_2(1)+zw

n=2:
S_1(2)=(1+z+z^2/2)(1+w+w^2/2)
=1+z+z^2/2+w+zw+z^2・w/2+w^2/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4
=1+(z+w)+(z^2/2+zw+w^2/2)+z^2・w/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4
=1+(z+w)+(z+w)^2/2+z^2・w/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4
=S_2(2)+z^2・w/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4

n=3:
S_1(3)=(1+z+z^2/2+z^3/6)(1+w+w^2/2+w^3/6)
=1+z+z^2/2+z^3/6+w+zw+z^2・w/2+z^3・w/6+w^2/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4+z^3・w^2/12+w^3/6+z・w^3+6+z^2・w^3/12+z^3・w^3/36
=1+(z+w)+(z^2/2+zw+w^2/2)+(z^3/6+z^2・w/2+z・w^2/2+w^3/6)+z^3・w/6+z^2・w^2/4+z・w^3/6+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z^3・w^3/36
=1+(z+w)+(z+w)^2/2+(z+w)^3/6+z^3・w/6+z^2・w^2/4+z・w^3/6+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z^3・w^3/36
=S_2(3)+z^3・w/6+z^2・w^2/4+z・w^3/6+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z^3・w^3/36

[574] mixiユーザー 12月30日 17:12

n=4:
S_1(4)=(1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24)(1+w+w^2/2+w^3/6+w^4/24)
=1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24+w+zw+z^2・w/2+z^3・w/6+z^4・w/24+w^2/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4+z^3・w^2/12+z^4・w^2/48+w^3/6+z・w^3/6+z^2・w^3/12+z^3・w^3/36+z^4・w^3/144+w^4/24+z・w^4/24+z^2・w^4/48+z^3・w^4/144+z^4・w^4/576
=1+(z+w)+(z^2/2+zw+w^2/2)+(z^3/6+z^2・w/2+z・w^2/2+w^3/6)+(z^4/24+z^3・w/6+z^2・w^2/4+z・w^3/6+w^4/24)+z^4・w/24+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z・w^4/24+z^4・w^2/48+z^3・w^3/36+z^2・w^4/48+z^4・w^3/144+z^3・w^4/144+z^4・w^4/576
=1+(z+w)+(z+w)^2/2+(z+w)^3/6+(z+w)^4/24+z^4・w/24+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z・w^4/24+z^4・w^2/48+z^3・w^3/36+z^2・w^4/48+z^4・w^3/144+z^3・w^4/144+z^4・w^4/576
=S_2(4)+z^4・w/24+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z・w^4/24+z^4・w^2/48+z^3・w^3/36+z^2・w^4/48+z^4・w^3/144+z^3・w^4/144+z^4・w^4/576

n=5:
S_1(5)=(1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24+z^5/120)(1+w+w^2/2+w^3/6+w^4/24+w^5/120)
=1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24+z^5/120+w+zw+z^2・w/2+z^3・w/6+z^4・w/24+z^5・w/120+w^2/2+z・w^2/2+z^2・w^2/4+z^3・w^2/12+z^4・w^2/48+z^5・w^2/240+w^3/6+z・w^3/6+z^2・w^3/12+z^3・w^3/36+z^4・w^3/144+z^5・w^3/720+w^4/24+z・w^4/24+z^2・w^4/48+z^3・w^4/144+z^4・w^4/576+z^5・w^4/2880+w^5/120+z・w^5/120+z^2・w^5/240+z^3・w^5/720+z^4・w^5/2880+z^5・w^5/14400
=1+(z+w)+(z^2/2+zw+w^2/2)+(z^3/6+z^2・w/2+z・w^2/2+w^3/6)+(z^4/24+z^3・w/6+z^2・w^2/4+z・w^3/6+w^4/24)+(z^5/120+z^4・w/24+z^3・w^2/12+z^2・w^3/12+z・w^4/24+w^5/120)+z^5・w/120+z^4・w^2/48+z^3・w^3/36+z^2・w^4/48+z・w^5/120+z^5・w^2/240+z^4・w^3/144+z^3・w^4/144+z^2・w^5/240+z^5・w^3/720+z^4・w^4/576+z^3・w^5/720+z^5・w^4/2880+z^4・w^5/2880+z^5・w^5/14400
=1+(z+w)+(z+w)^2/2+(z+w)^3/6+(z+w)^4/24+(z+w)^5/120+z^5・w/120+z^4・w^2/48+z^3・w^3/36+z^2・w^4/48+z・w^5/120+z^5・w^2/240+z^4・w^3/144+z^3・w^4/144+z^2・w^5/240+z^5・w^3/720+z^4・w^4/576+z^3・w^5/720+z^5・w^4/2880+z^4・w^5/2880+z^5・w^5/14400
=S_2(5)+z^5・w/120+z^4・w^2/48+z^3・w^3/36+z^2・w^4/48+z・w^5/120+z^5・w^2/240+z^4・w^3/144+z^3・w^4/144+z^2・w^5/240+z^5・w^3/720+z^4・w^4/576+z^3・w^5/720+z^5・w^4/2880+z^4・w^5/2880+z^5・w^5/14400

うーん…。

[575] mixiユーザー 12月30日 20:19

>>[574]

なにかご苦労をおかけしているようで…申し訳ありませんね。

MS15さんの記法をお借りすれば、ｎは有限なある値ですからどんなｎをとってもS_1(n)とS_2(n)は絶対に等しくはないわけで、あくまでもS_1(∞)とS_2(∞)が等しいことを知りたいのです。

特に、S_1(∞)は無限個と無限個の積ですからデリケートではないかと心配です。

お示しいただいた「高校数学の美しい物語」の　https://manabitimes.jp/math/1161　のページでは、「証明」と言いながらS_1(∞)＝S_2(∞)　を示さず、「練習問題」となっていますね。う～む…ということは高校生レベルでできるということ？もう一度考えてみます。

[576] mixiユーザー 12月30日 21:15

>>[567]

高校生でもできるはず、というのと、『二項定理を使うとうまく変形できるとかあるのかなとか思ったりして(^^;)。』というのを頼りにしてやってみたらできました。自問自答になっちゃってごめんなさい。いちおう報告を書きましたので見てください。これで①の定義で指数法則が成り立つことが分かったので、あとはe^z=e^(x+yi)に指数法則（が使えることが示せたので）を使って
=e^x・e^yi　が言えて、あとはe^yiを①形式で書いたものとsin x, cos y のマクローリン展開と見比べれば②の式が出てきますね。よって①⇒②！　あとは②⇒①　はどうやって示すのかなぁ。

[577] mixiユーザー 12月31日 01:43

>>[576]

これでいかがでしょう？

1) e^(x+iy)=e^x・(cos y + i・sin y)（x、yは実数）と定義したときに、e^x_1+iy_1)・e^(x_2+iy_2)=e^((x_1+iy_1)+(x_2+iy_2))が言えるか。

e^(x_1+iy_1)・e^(x_2+iy_2)
=e^x_1・(cos y_1 + i・sin y_1)・e^x_2・(cos y_2 + i・sin y_2)
=e^x_1・e^x_2・(cos y_1 + i・sin y_1)・(cos y_2 + i・sin y_2)
=e^x_1・e^x_2・((cos y_1・cos y_2 - sin y_1・sin y_2) + i(sin y_1・cos y_2 + cos y_1・sin y_2))
=e^(x_1+x_2)・(cos (y_1 + y_2) + i・sin (y_1 + y_2))
=e^((x_1 + iy_1)+(x_2 + iy_2))

以上より、e^x_1+iy_1)・e^(x_2+iy_2)=e^((x_1+iy_1)+(x_2+iy_2))と言える。

2) 1)より、e^(x+iy)=e^x・e^(iy)とできる。

3) e^x、sin x、cos x（xは実数）のマクローリン展開：

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-…
cos x=1-x^2/2+x^4/4!-…

4) 3)から、cos y + i・sin yは以下のように書ける。

cos y + i・sin y
=(1-y^2/2+y^4/4!-…)+i・(y-y^3/3!+y^5/5!-…)
=1+iy-y^2/2!-y^3/3!+y^4/4!+y^5/5!-…
=1+(iy)+(iy)^2/2!+(iy)^3/3!+(iy)^4/4!+(iy)^5/5!+…

5) 以上から、

e^(x+iy)
=e^x・e^(iy)
=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)・(1+(iy)+(iy)^2/2!+(iy)^3/3!+…)
=1+(x+iy)+(x+iy)^2/2!+(x+iy)^3/3!+…

[578] mixiユーザー 12月31日 01:59

>>[576]

ところで、せっかく画像を貼っていただいてますけど、
前にもこちらに2回ほど書いたおぼえがあるんですけど、
自分、数年前からかなり目を悪くしていて、
テキストでしたらパソコンに入っている画面読み上げソフトで読めるんですけど、
画像だと、OCRとか使ってテキスト変換して画像の中のテキスト情報を拾ってという感じでしか読めないんですよね(^^;)。
貼っていただいた画像をOCRにかけてみたんですけど、ほとんど認識されなかったので、たぶん手書きですよね。
コメント欄にテキストでタイプしていただくか、画像でしたらワープロ打ちとかTeXで打ち込みとかでしたらOCRでわりと認識できる可能性があります。手書きでしたら、すごいきれいな字で書いてもらえばもしかしたら認識されるかもしれません(^^;)。

そういうわけなので、自分でもやってみたんですけど、もしかしたら同じようなことが書いてあるのかもしれないですね(^^;)。

(1+z+z^2/2!+…+z^j/j!+…)(1+w+w^2/2!+…+w^k/k!+…）
=Σ[j=0 to ∞, k=0 to ∞] z^j・w^k/j!k!
=Σ[j=0 to ∞, k=0 to ∞] z^j・w^k・(j+k)!/j!k!(j+k)!
=Σ[j=0 to ∞, k=0 to ∞] z^j・w^k・(j+k)!/(j+k-k)!k!(j+k)!
=Σ[j=0 to ∞, k=0 to ∞] z^j・w^k・(j+k)_C_k / (j+k)!
=Σ[n=0 to ∞] (z+w)^n/n!=1+(z+w)+(z+w)^2/2!+…+(z+w)^n/n!+…

[579] mixiユーザー 12月31日 09:28

>>[577]

ありがとうございます。
それで②⇒①は示せたようですね。理解出来ました！

ただ、5)の最後の等号は自明ではないような気がします。説明が必要では？
でも、①⇒②を示す途中で同じようにe^□のマクローリン展開の積を処理していますが（MS15さんの[578])、それと同じようにできますので、これでめでたく①と②の定義が同じであることを納得できました。ありがとうございました！

[580] mixiユーザー 12月31日 10:19

>>[578]

お詫びです。MS15さんの眼の状態は以前にもお聞きしていましたのに、すっかり失念しておりました。しかも乱筆な手書きでしたので、OCR君もお手上げだったのでしょう。ごめんなさい。

私のもたぶん考え方は同じです。MR15さんのΣとその変数の扱いにちょっと？なところもありました。n=i+jを固定してからΣ(n=0 to ∞)にするのが最後の最後となっていますが、その２つ前からにした方がCombinationから(z+w)^nになるが示しやすいのでは。愚見です。自分がやったのがそうだったもので。改めて写真で送ったものを書いてみますね。考えは同じでしたね。申し訳ない、TeXとかは使ったことないので、テキスト文になります。そうとうわかりづらいですね。打ち間違いがないとは言えません。お許しを。

e^z=z^0/0!+z^1/1!+z^2/2!+z^3/3!+…+z^n/n!+…
e^w=w^0/0!+w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+…+w^n/n!+…
これらの積Ｐ＝（z^0/0!+z^1/1!+z^2/2!+z^3/3!+…+z^n/n!+…）・（w^0/0!+w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+…+w^n/n!+…）を展開した時の（ｚ、ｗについて）ｎ次（ｎを仮に固定）の項の和は（MS15さんのj+kをｎとしたのと同じです）

z^n/n!×w^0/0!+z^(n-1)/(n-1)!×w^1/1!+z^(n-2)/(n-2)!×w^2/2!+…＋z^(n-r)/(n-r)!×w^r/r!+
…＋z^1/1!×w^(n-1)/(n-1)!+z^0/0!×w^n/n!

=Σ(r=0 to n)z^(n-r)/(n-r)!×w^r/r!
=Σ(r=0 to n){z^(n-r)/w^r}/{(n-r)!r!}
=1/n!×Σ(r=0 to n)n!/{(n-r)!r!}×{z^(n-r)w^r}
=1/n!×n_C_r {z^(n-r)w^r}
=(z+w)^n/n!

よって
Ｐ＝Σ(n=0 to ∞)(z+w)^n/n!
=(z+w)^0/0!+(z+w)^1/1!+(z+w)^2/2!+…
　＝e^(z+w)

読みにくいですが、たぶんMS15さんと同じことかと思いますのでご確認ください。書き間違いがあったらお許しください。

おかげさまで、初歩のつまづきが年内に解消されました。
ありがとうございました！
来年もよろしく！

[581] mixiユーザー 12月31日 12:38

あ、やっぱり打ち間違いがありました。
[580]の
=Σ(r=0 to n){z^(n-r)/w^r}/{(n-r)!r!}
は
=Σ(r=0 to n){z^(n-r)×w^r}/{(n-r)!r!}
です！

[582] mixiユーザー 01月04日 18:07

またお願いします。

複素対数関数に関して教えてください。

①log(z)+log(z) ② 2log(z) ③ log(z^2)

対数関数の多価性からlog( )という表記は集合をあらわすような感じでいいのでしょうか。
そのとき、②と③は多価性を生み出す部分が4mπiと2nπi なり異なるので

②≠③

と理解したのですが、①は②や③と等しいのか異なるのかはっきり理解できません。
①の多価性をあらわす部分は2(s+t)πi（s,tは整数）とするのか4sπiとするのか？

よろしくお願いします。

[583] mixiユーザー 01月05日 00:47

>>[582]

複素数の指数関数・対数関数・べき関数
https://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/2.html

こちらのページを見ると

> 2(s+t)πi（s,tは整数）

の考え方の方が正しいと思います。

[584] mixiユーザー 01月05日 21:49

>>[583]

ありがとうございますm(_ _)m
わかりました。
ということは、
①≠②、①=③
と考えていいのですね！

[585] mixiユーザー 04月15日 20:56

関数について。
｛
x≠1→y=(x^2-1)/(x-1)…①
x=1→y=2…②
｝
①と②を連立させた関数は、y=x+1と点集合としては
全く同じです。
なので(x,y)=(1,2)においても微分可能で、傾き1を持つのでしょうか？

[586] mixiユーザー 04月19日 01:09

>>[585]

f(x) = (x^2-1)/(x-1) (x≠1)
2 (x＝1)

上記でf(1)=2と定義されていますので、

f'(1) = lim(h→0) (f(1+h)-f(1))/h
= lim(h→0) ((1+h+1)-2)/h
= lim(h→0) h/h
= 1

となり、f(x)はx=1で微分可能、ということでいいんじゃないでしょうか？

[587] mixiユーザー 04月19日 08:29

>>[586]
ありがとうございます。
微分可能な点集合から点を一つ除いて、再び同じ点を付け加えても、微分可能ですか。

[588] mixiユーザー 04月19日 11:13

>>[587]

微分可能の定義については、例えば以下を参照してください。

関数の連続性と微分可能性の意味と関係
https://manabitimes.jp/math/1105

> 微分可能性の定義
> 以下の条件を満たすとき，関数f(x)はx=aで微分可能と言う：
>
> lim(h→0） (f(a+h)-f(a))/h
>
> が存在する。

今回与えられた関数

f(x) = (x^2-1)/(x-1) (x≠1)
2 (x＝1)

は、x=1で上記極限が存在します。

ところで、関数を以下のように定義した場合は、上記極限は存在しません。

f(x) = (x^2-1)/(x-1) (x≠1)
3 (x＝1)

lim(h→0) (f(1+h)-f(1))/h
= lim(h→0) ((1+h+1)-3)/h
= lim(h→0) (1 - 1/h)

これは、左極限が+∞、右極限が-∞となり、上記極限は定まりません。

[590] mixiユーザー 11月01日 09:04

恐縮ですが質問させて頂きます。
　dy/dx=dy/dz·dz/dx=f‘(z)dz/dx　····①
今y=f(z), z=ax+b のとき
　dz/dx=a　f‘(z)=f’(ax+b)　····②
②を①の形式にして
∴ dy/dx=f’(z)dz/ddx　·····③
つまり③式は最初の項で微分操作を行いあとの項で
(zをxで微分したよという)微分した形式のしるしとして描き残してあるということでしょうか?
同様にd/dt(v^2)については微分操作を行なうと「2v」が現れる。他方で(vをtで微分したよという)微分した形式のしるしとして描き出すと
「dv/dt」　これをまとめて書くと
　∴ d/dt(v^2)=2vdv/dt　となる。
このように私は"無理やりに"自分を納得させているのですが、数学的には実際のところ d/dt(v^2)
=2vdv/dtなどの「dv/dt」という頃は何のためにあるのでしょうか?
私は本当は d/dx(x^2)=2x ですからあとに残る
「dv/dt」がどうして書き残されるのか疑問なのです。
どうか分かる方がいらっしゃいましたらお教えください。

[591] mixiユーザー 11月02日 11:57

>>[590]

合成関数の微分って高校数学でやったんじゃないかと思いますけど、
以下参考にならないですかね？

合成関数の微分公式とその証明
https://hiraocafe.com/note/differential_of_composite-function.html

[592] mixiユーザー 11月03日 15:58

>>[591] レスをありがとうございます。
私は計算が遅いために貴殿の貼り付けて下さりましたページを只今閲覧しています。
もしか分からないヶ所があった場合には何らかの質問を記させて頂くかもしれませんが、いずれにせよあと11月いっぱい程はお待ち下さい。
　in a sense, thank you so.

🛌

[593] mixiユーザー 11月04日 23:00

>>[590]

しるしじゃないですよ。

例：ｙ＝（３ｘ²＋２ｘ＋１）⁴
これはｙ＝ｆ（ｚ）＝ｚ⁴、
ｚ＝３ｘ²＋２ｘ＋１
の合成関数です。
dy/dx=dy/dz・dz/dx ですので、
dy/dz=4z³ですので、
dy/dx=4z³・dz/dx=4(３ｘ²＋２ｘ＋１)³dz/dx

dz/dxが「しるし」だとしたら、これでおしまいになってしまいますが、正しくはdz/dx=6x+2 をちゃんと書かないと正しい導関数になりません。

dy/dx=4z³・dz/dx
=4(３ｘ²＋２ｘ＋１)³dz/dx
＝4(３ｘ²＋２ｘ＋１)³（６ｘ＋２）

これで正しい導関数になります！

しるしではなく、ほんとうにｚをｘで微分したものを書きますよ。

d/dt(v^2)については、ｖ＝g(x)があるはずで、
dz/dx＝２V・dz/dx＝２ｇ（ｘ）ｇ’（ｘ）
と書かれます。

[595] mixiユーザー 11月05日 03:56

>>[593] 詳しい説明をありがとうございます。
おおよその流れは分かりました。
ただ私は実は「力学」のテキストの数式(物理式？)の展開に戸惑っていまして
　md^2/dt^2=f(x)
両辺にdx/dtをかけると
　mdx/dt·d^2x/dt^2=f(x)dx/dt
ここで関係式
　d/dt(v^2)=2vdv/dt　····①
に注意すれば
　v=dx/dt, dv/dt=d^2x/dt^2に対して
　dx/dt·d^2x/dt^2=vdv/dt=1/2·d/dt(v^2)
となるので·····
という上記①式の突然の現れに消化不良となっているのです。
この点に関しましてはどのように考えるといいのでしょうか?
よろしければお教え下さい。

[597] mixiユーザー 11月05日 14:04

>>[595]

①の式はもっと後で出てきた方がいいですよね。
その行は無視して読んでいって、
最後の最後に、vdv/dtが出てきたので、これをみてから
「そういえば、d/dt(v^2)=2vdv/dtなんだから（←これを思いつくのは、慣れというか…）
vdv/dt=1/2d/dt(v^2)って思えるじゃない！」
ということで、md^2/dt^2=f(x)という式から1/2·md/dt(v^2)=f(x)vという式が得られるということでしょうか。
ｘが変位、ｔが時間で、f(x)なんですか？f(t)ではない？
dx/dtが速度ｖで、dv/dt＝d²v/dt²が加速度で…

でもV²に物理的にどんな意味があるのかなぁ？

[598] mixiユーザー 11月05日 16:51

>>[597] レスをありがとうございます。
しかしながら上記の別件と併せましてこの2件に関するお返事は今しばらく11月いっぱい程のお時間をお待ち下さい。
よろしくお願い致します。

[599] mixiユーザー 11月23日 17:51

>>[597]

> でもV²に物理的にどんな意味があるのかなぁ？

v^2でぱっと思いつくのは運動エネルギーですけど（(1/2)・mv^2）、
どうやら、運動方程式からエネルギー保存則を導く話っぽいです。
「d/dt(v^2)=2vdv/dt」でググると、いろいろ出てきます。
以下、ご参考まで…。

力学的エネルギー保存則の導出 - 物理のかぎしっぽ
https://hooktail.sub.jp/mechanics/enaglaw-derive/index.pdf

※最近、自分の環境からmixiにアクセスしづらくなってしまい、大変な亀レスになってしまい、失礼いたしました。

[600] mixiユーザー 11月23日 18:33

>>[599]
最近、mixiはセキュリティレベルを上げていると思います。
とくにスマホ、タブレットのOSのバージョンアップをしてないとアクセスできなくなるようです。私もそうした障害が出て最近、容量がすくなくなった機種変しました。

[601] mixiユーザー 11月23日 18:40

参加はしてますが、右脳で直感でやるタイプでテキスト表示が大苦手でレスはテキストベースで済むものにしてます。
書き込みには数字SNSを始めました。^2とかいうのも最近まで知らなかった(^^;

[602] mixiユーザー 01月01日 17:31

>>[593] すみません。この度(6度目の)「千葉県内」への住居転入を成し遂げまして、只今引っ越しの転入の後片付けに大変時間がかかっています最中です。
貴殿の上記記入よりある程度のことは把握出来ましたような気はしています。
また何かありましたら、もっと(千葉県内)の新住所の整理ですとか近くの『図書館』ですとかをよく探して(数学の専門書)などを借りられる状況になりましたならその時点以降より、もしかしますと再三の質問をさせて頂くこともあるかもしれません。
その時には、どうぞよろしくお願いいたします。
またこの度は私の質問に対しまして丁寧なご返事を頂くことが出来ましてありがとうございました。
大変に感謝致します。

[603] mixiユーザー 01月20日 17:02

>>[597] 大変遅くなってしまいました。しかしようやく少し分かってきました。
---------------
一般に合成関数は、f(x)=x+2 g(x)=x^2 のときは
y=f(x), z=g(y)とおいて
　z=g(f(x))=g(x+2)=(x+2)^2
翻って　ma=-kx+mg という運動方程式を考えると両辺にvをかけると
∴ mav=-kxv+mgv　---- ①
さてmav=mv(dv/dt)=(1/2)m2v(dv/dt)
　　　　=(1/2)m(d/dt)(v^2)=d/dt(1/2)(mv^2)
　·····
このように考えていくと①式は
∴ d/dt(1/2)(mv^2)=d/dt(-1/2)(kx^2)+d/dt(mgx)
∴ 1/2mv^2=-1/2kx^2+mgx
これはエネルギー保存則を示していると分かる。
----------------------
と、以上です。
なおこのレスの元となるデータは『599』の「MS15」さんの貼付資料を引用させて頂きました。
どうもありがとうございました。