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1=0.999・・・ には面白い話が多い。私も一つ思いついたが、すでに誰かが考えた話だろうか？
1=0.999・・・ の証明。
+1.000・・・
+0.111・・・
=1.111・・・
+0.999・・・
+0.111・・・
=1.111・・・
であるから、1=0.999・・・ だろう。同じ数(0.1111・・・)を足して、同じ数(1.111・・・)に成るなら、
元の数(1.000・・・)、(0.999・・・)も同じはずだ。
ところで、一般に、
a+c=d
b+c=d
の時、
d-c=a
d-c=b
だろう。従って、
+1.111・・・
-0.111・・・
=1.000・・・
これは理解できるが、
+1.111・・・
-0.111・・・
=0.999・・・
これは理解できない。こんな引き算は普通やらない。そこで、
+1.111・・・1110
-0.111・・・1111
=0.999・・・9999
として理解する事にした。これなら繰り下げ引き算が成立する。つまり、
+1.111・・・
=1.111・・・1110
と言う事だ。
この事の意味する事は、数は無限ではなく、有限だと言う事だ。最大の自然数が存在する事になる。
1.111・・・と無限に書き続ける事は出来ず、限界が有るということだ。最大の自然数個しか１を書く事ができないのだ。
だから、(1.111・・・)=(1.111・・・1110) と成り、繰り下げ引き算が可能と成るのだ。
もし最大の自然数を否定するなら、繰り下げ引き算ができなくなり、1=0.999・・・ も否定しなければならなくなる。
1=0.999・・・ の証明。
+1.000・・・
+0.111・・・
=1.111・・・
+0.999・・・
+0.111・・・
=1.111・・・
であるから、1=0.999・・・ だろう。同じ数(0.1111・・・)を足して、同じ数(1.111・・・)に成るなら、
元の数(1.000・・・)、(0.999・・・)も同じはずだ。
ところで、一般に、
a+c=d
b+c=d
の時、
d-c=a
d-c=b
だろう。従って、
+1.111・・・
-0.111・・・
=1.000・・・
これは理解できるが、
+1.111・・・
-0.111・・・
=0.999・・・
これは理解できない。こんな引き算は普通やらない。そこで、
+1.111・・・1110
-0.111・・・1111
=0.999・・・9999
として理解する事にした。これなら繰り下げ引き算が成立する。つまり、
+1.111・・・
=1.111・・・1110
と言う事だ。
この事の意味する事は、数は無限ではなく、有限だと言う事だ。最大の自然数が存在する事になる。
1.111・・・と無限に書き続ける事は出来ず、限界が有るということだ。最大の自然数個しか１を書く事ができないのだ。
だから、(1.111・・・)=(1.111・・・1110) と成り、繰り下げ引き算が可能と成るのだ。
もし最大の自然数を否定するなら、繰り下げ引き算ができなくなり、1=0.999・・・ も否定しなければならなくなる。
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コメント(24)
1.11…10
-0.11…1
=0.99…9
から、
1.11…=1.11…10となるでしょうか？
それと、仮に最大の自然数nが存在するならば、n+1はnに等しいか、定義されないという解釈になるでしょう。前者の場合、n=n+1から1=0、帰納的に全ての数は等しいという結果を得ます。この場合1=0.99…は正しいといえますが、最大の自然数の存在とは矛盾しています。また、後者の場合、0.99…という書き方はできません。9はn個しか書けないはずなので、1=0.99…9となり、左辺-右辺より0.11…1=0となり、両辺を何倍かすることで、やはり全ての数は等しい(=0)という結果になります。結局、最大の自然数は存在しないといっていいでしょう。
-0.11…1
=0.99…9
から、
1.11…=1.11…10となるでしょうか？
それと、仮に最大の自然数nが存在するならば、n+1はnに等しいか、定義されないという解釈になるでしょう。前者の場合、n=n+1から1=0、帰納的に全ての数は等しいという結果を得ます。この場合1=0.99…は正しいといえますが、最大の自然数の存在とは矛盾しています。また、後者の場合、0.99…という書き方はできません。9はn個しか書けないはずなので、1=0.99…9となり、左辺-右辺より0.11…1=0となり、両辺を何倍かすることで、やはり全ての数は等しい(=0)という結果になります。結局、最大の自然数は存在しないといっていいでしょう。
四ケタの有限な数の引き算だが、
+1.111
-0.111
=1.000
この計算には、繰り下げなど必要ない。ただ単に、上の数から下の数を引くだけだ。しかし、この引き算を無理やり、左から右へ、（位の高い方から、位の低い方へ）繰り下げ引き算をやれば、どうなるかと言うと、
まず、
+1
+0.1
+0.01
+0.001
=1.111
+0.1
+0.01
+0.001
=0.111
として、
+1
-0.1
=0.9
+0.1
-0.01
=0.09
+0.01
-0.001
=0.009
この三つの答えを足せば、
+0.9
+0.09
+0.009
=0.999
となり、0.999という、繰り下げ引き算の答えが得られる。
従って、
+1.111・・・
-0.111・・・
=0.999・・・
と言うのは、この、左から右への繰り下げ引き算を無限にやっただけと言えるだろう。
ところで、
+1.111
-0.111
=0.999
という計算は、もちろん正しくない。正しくは、
+1.111
-0.001
=1.11
-0.111
=0.999
+0.001
=1.000
と言う事だ。従って、有限な数の計算では、１．０００と、０．９９９の二つの答えが出るような事は無い。有限な数の計算では、例え、無理やり左から右へ、繰り下げ引き算をやっても、答えが異なる事は無い。
しかし無限な数の引き算では以下のように、繰り下げ無しの引き算と、繰り下げ引き算では答えが違ってくる。
+1.111・・・
-0.111・・・
=1.000・・・
+1.111・・・
-0.111・・・
=0.999・・・
この理由は、無限の数の計算では、計算が永遠に完結しないからのように思われる。
つまり、0.999・・・というのは、終わる事の無い、計算途上の数値のように思われる。
そして、無限の計算が、終わるはずが無いのは、至極当然の事なのだ。
終わる事の無い計算を表記しようとするのが、そもそも無理なのだ。
その無理が、二つの異なった「計算結果」となって表れたのだろう。
+1.111
-0.111
=1.000
この計算には、繰り下げなど必要ない。ただ単に、上の数から下の数を引くだけだ。しかし、この引き算を無理やり、左から右へ、（位の高い方から、位の低い方へ）繰り下げ引き算をやれば、どうなるかと言うと、
まず、
+1
+0.1
+0.01
+0.001
=1.111
+0.1
+0.01
+0.001
=0.111
として、
+1
-0.1
=0.9
+0.1
-0.01
=0.09
+0.01
-0.001
=0.009
この三つの答えを足せば、
+0.9
+0.09
+0.009
=0.999
となり、0.999という、繰り下げ引き算の答えが得られる。
従って、
+1.111・・・
-0.111・・・
=0.999・・・
と言うのは、この、左から右への繰り下げ引き算を無限にやっただけと言えるだろう。
ところで、
+1.111
-0.111
=0.999
という計算は、もちろん正しくない。正しくは、
+1.111
-0.001
=1.11
-0.111
=0.999
+0.001
=1.000
と言う事だ。従って、有限な数の計算では、１．０００と、０．９９９の二つの答えが出るような事は無い。有限な数の計算では、例え、無理やり左から右へ、繰り下げ引き算をやっても、答えが異なる事は無い。
しかし無限な数の引き算では以下のように、繰り下げ無しの引き算と、繰り下げ引き算では答えが違ってくる。
+1.111・・・
-0.111・・・
=1.000・・・
+1.111・・・
-0.111・・・
=0.999・・・
この理由は、無限の数の計算では、計算が永遠に完結しないからのように思われる。
つまり、0.999・・・というのは、終わる事の無い、計算途上の数値のように思われる。
そして、無限の計算が、終わるはずが無いのは、至極当然の事なのだ。
終わる事の無い計算を表記しようとするのが、そもそも無理なのだ。
その無理が、二つの異なった「計算結果」となって表れたのだろう。
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