数学コミュの無理数について

はじめまして。
ふと疑問に思ったのですが、
無理数が無限に続くことは証明されているのでしょうか？

コメント(14)

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[1] mixiユーザー 01月27日 14:35

なぜ√2やπなどの無理数は無限に続くのでしょうか？

[2] mixiユーザー 01月27日 14:40

なぜ1/3や2/7などの有理数は無限に続くのでしょうか？

[3] mixiユーザー 01月27日 14:49

>>[001]

２乗して２になるような数は、分数であらわすことができません。(証明終わり。)

[4] mixiユーザー 01月27日 14:57

πに関しましては、
極限の意味が、
私にはよく分かっていませんので、
どなたかよろしくお願い致します。

[5] mixiユーザー 01月27日 15:08

>>[1]

これはたしか背理法で証明できたように思います。

「教科書に載っている、√２が無理数であることの証明、おかしいんと違うか？」というタイトルのトピック（下記アドレス）が参考になるかと思います。

http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=71563666&comm_id=63370

[7] mixiユーザー 01月27日 15:22

>>[4]

けいさんは『オイラーの贈物』という本をご存じですか。この本のＰ１８９～１９０に書いてあります。正Ｎ角形の半周の長さが、数列の漸化式の形で求められ、この本では、正７６８角形の半周の長さの計算例が

３．１４１５８３９

と示されています。

この正Ｎ角形のＮをどんどん大きくしていくと、その図形は限りなく円に近くなり、その半周の値もπの実数値に近くなります。

[8] mixiユーザー 01月27日 15:56

無理数は、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数として表すことのできない実数です。

小数点第n位で終わる数に10^n掛けると自然数になります。
つまり、分数で表せてしまいます。

10進数において1/3や2/7が無限に続くのは3や7が2や5の倍数でないからです。
小数点第n位で割れる数は上のように10^n掛けると整数になります。
つまり、自然数Nに対して
N/(10^n)
という形にできれば有限で終わります。
分母にNと互いに素で10とも互いに素な数があると分母を10^nの形にできなくなるため10進数では無限に続きます。

[9] mixiユーザー 01月27日 17:47

たとえば、√2を数直線に点を書くことを考えた場合、拡大したらまた点がずれる、また、拡大したら点がずれるの繰り返しで、点を書くことができないです。どこかに収束しないと点が書けないと思うのですが。。

[11] mixiユーザー 01月27日 19:12

ひがしかぜさん
ご回答ありがとうございます。

新たに疑問がわいてきて、√2事体、正方形などの図形がなければ、単独で書くことができなく、ものさしだけで√2という正確な値をプロットするということは、不可能な気がします。
√2はどこかで収束するなら別ですが。

[12] mixiユーザー 01月27日 19:20

無理数、循環小数は正確で図ることができない数ととらえていいのでしょうかね。

[14] mixiユーザー 01月27日 20:44

ひがしかぜさん

収束の意味を少し歪めていたかもしれません。
ありがとうございます。

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