＿＿＿＿＿＿＿＿＿
√２が無理数である ことの証明（高校教科書に多くある例）
証明）
√２が無理数でない,つまり,有理数であると仮定すると,√２は既約分数で表すことができる.
すなわち,互いに素な（1以外に公約数を持たない）整数a,bを使って,
√２＝ａ/ｂ
と書ける。 これを平方整理して,
ａ＾2＝2ｂ＾2
だから,a＾2は偶数,すなわちaは偶数となる. したがって,整数cを使って,
ａ＝2ｃ
と書ける。 これを,ａ＾2＝2ｂ＾2に代入すると,
（2ｃ）＾2＝2ｂ＾2
ｂ＾2＝2ｃ
となり,b＾2は偶数,すなわちbは偶数となる. このとき, a,bは公約数2を持つことになり,1以外に公約数を持たないということと矛盾する。
この矛盾は最初に√２が有理数であるとしたことが原因であり,√２は無理数である。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
この証明のおかしな点は、最初に、√２が無理数でない,つまり,有理数であると仮定すると,は既約分数で表すことができる. とした所だ。
これは論点先取りではないか？
確かに既約分数でなければならない事は分かる。しかし、それは証明を最後まで読んでから分かる事だ。証明を最後まで読んでから分かる事を最初に持ってくるのは論点先取りである。
ではこの論点先取り、つまり、「既約分数である」を省いて証明する事は不可能なのだろうか？
そんな事はない。それが以下の証明である。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
√２が無理数である ことの証明（マルの証明）
証明）
√２が無理数でない,つまり,有理数であると仮定すると,√２は分数で表すことができる.
すなわち,整数a,bを使って,
√２＝ａ/ｂ
と書ける。 これを平方整理して,
ａ＾2＝2ｂ＾2
だから,a＾2は偶数,すなわちaは偶数となる. したがって,整数cを使って,
ａ＝2ｃ
と書ける。 これを,ａ＾2＝2ｂ＾2に代入すると,
（2ｃ）＾2＝2ｂ＾2
ｂ＾2＝2ｃ
となり,b＾2は偶数,すなわちbは偶数となる.
つまり、√２＝ａ/ｂと仮定すると、ａとｂは常に偶数にしかならない。
約分可能であるにも関わらず、約分できない分数は存在しないので、存在しない数を要求する仮説は矛盾である。
この矛盾は最初に√２が有理数であるとしたことが原因であり,√２は無理数である。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
とすれば、論点先取りの必要は無い。つまり、教科書に載っている、√２が無理数である ことの証明、は誤りであり、私、マルの証明が正しい。
√２が無理数である ことの証明（高校教科書に多くある例）
証明）
√２が無理数でない,つまり,有理数であると仮定すると,√２は既約分数で表すことができる.
すなわち,互いに素な（1以外に公約数を持たない）整数a,bを使って,
√２＝ａ/ｂ
と書ける。 これを平方整理して,
ａ＾2＝2ｂ＾2
だから,a＾2は偶数,すなわちaは偶数となる. したがって,整数cを使って,
ａ＝2ｃ
と書ける。 これを,ａ＾2＝2ｂ＾2に代入すると,
（2ｃ）＾2＝2ｂ＾2
ｂ＾2＝2ｃ
となり,b＾2は偶数,すなわちbは偶数となる. このとき, a,bは公約数2を持つことになり,1以外に公約数を持たないということと矛盾する。
この矛盾は最初に√２が有理数であるとしたことが原因であり,√２は無理数である。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
この証明のおかしな点は、最初に、√２が無理数でない,つまり,有理数であると仮定すると,は既約分数で表すことができる. とした所だ。
これは論点先取りではないか？
確かに既約分数でなければならない事は分かる。しかし、それは証明を最後まで読んでから分かる事だ。証明を最後まで読んでから分かる事を最初に持ってくるのは論点先取りである。
ではこの論点先取り、つまり、「既約分数である」を省いて証明する事は不可能なのだろうか？
そんな事はない。それが以下の証明である。
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√２が無理数である ことの証明（マルの証明）
証明）
√２が無理数でない,つまり,有理数であると仮定すると,√２は分数で表すことができる.
すなわち,整数a,bを使って,
√２＝ａ/ｂ
と書ける。 これを平方整理して,
ａ＾2＝2ｂ＾2
だから,a＾2は偶数,すなわちaは偶数となる. したがって,整数cを使って,
ａ＝2ｃ
と書ける。 これを,ａ＾2＝2ｂ＾2に代入すると,
（2ｃ）＾2＝2ｂ＾2
ｂ＾2＝2ｃ
となり,b＾2は偶数,すなわちbは偶数となる.
つまり、√２＝ａ/ｂと仮定すると、ａとｂは常に偶数にしかならない。
約分可能であるにも関わらず、約分できない分数は存在しないので、存在しない数を要求する仮説は矛盾である。
この矛盾は最初に√２が有理数であるとしたことが原因であり,√２は無理数である。
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とすれば、論点先取りの必要は無い。つまり、教科書に載っている、√２が無理数である ことの証明、は誤りであり、私、マルの証明が正しい。
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コメント(145)
>>[105]
http://mixi.jp/view_bbs.pl?page=5&comm_id=63370&id=71563666
82
にもありますが補足して一応証明を再掲します（証明しているわけですから，公理とみなしているわけではありません）。
証明には103で証明した，
「２つの整数 a，b にたいし，a＝bq＋r（0≦r＜|b|）をみたす２つの整数 q，r が存在する。」
と自然数（整数）とその加法・乗法・大小の定義，およびそれにもとづいた約数・倍数・公約数の定義をもちいています。
>２はあまり見かけない命題ですが
「２つの自然数 a，b の最小公倍数をＬ最大公約数をＧとするとき，ab＝ＬＧ で，a＝a'Ｇ，b＝b'Ｇ（a'，b' は互いに素）となる。」はわりとよく触れられる話と思っていました。２．はその一部の「ab＝ＬＧ」を文で表現しただけです。
以下 82 の内容を若干手直しして再掲します。
−−−
１．２つの自然数の公倍数はそれらの最小公倍数の倍数である。
（証明）２つの自然数の最小公倍数をＬとするとき，それらの公倍数 m をＬで割った商を q 余りを r とすれば，r＝m−Ｌq より，r は 最小公倍数Ｌより小さい２数の公倍数であるから 0 に等しい。したがって m はＬの倍数である。
１’．２つの自然数の公約数はそれらの最大公約数の約数である。
（証明）２つの自然数 a，b の最大公約数をＧ，a，b の公約数の一つを dとするとき，Ｇと d の最小公倍数をＬとすれば，Ｌ＝Ｇq（q は自然数）と表される。a，b はともに Ｇ，d の公倍数であるから，ともに最小公倍数Ｌすなわち Ｇq の倍数でもある（１．）ので，a＝a'Ｇq，b＝b'Ｇq （a'，b' は自然数）と表される。したがって，Ｇq は a，b の公約数であるから，0＜Ｇq≦Ｇ（Ｇは最大公約数）となる。これより，1≦q≦1 すなわち q＝1 がいえる。よってＬ＝Ｇ は成り立ち，Ｇと d の最小公倍数はＧ，したがって（Ｇは d の倍数であるから） d はＧの約数である。
２．２つの自然数の積はそれらの最小公倍数と最大公約数の積である。
２つの自然数 a，b の最小公倍数をＬとすれば，Ｌ＝ab'＝a'b （a'，b'は自然数）と表される。積 ab は a，b の倍数であるからＬの倍数である（１．）ので，ab＝Ｌg（g は自然数）と表される。このとき，ab＝ab'g＝a'bg であるから，a＝a'g，b＝b'g，Ｌ＝a'b'g が成り立つ。これから，g が a，b の公約数であることがわかるから，a，b の最大公約数をＧとすれば，Ｇ＝gc（c は自然数）と表される（１’．）。このとき，a＝a''Ｇ＝a''cg，b＝b''Ｇ＝b''cg，となるから，a' ＝a''c， b'＝b''c となる。積 a''b''cg（＝ab''＝a''b） は a，b の正の公倍数であるから，0＜Ｌ＝a''b''c^2g≦a''b''cg（Ｌは最小公倍数） であって，これより 1≦c≦1 すなわち c＝1 がいえる。よって，g＝Ｇ で，ab＝ＬＧ，a＝a'Ｇ，b＝b'Ｇ（a'，b' の最大公約数は 1）が成り立つ。
−−−
ご覧の通り素数については一切触れていません。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?page=5&comm_id=63370&id=71563666
82
にもありますが補足して一応証明を再掲します（証明しているわけですから，公理とみなしているわけではありません）。
証明には103で証明した，
「２つの整数 a，b にたいし，a＝bq＋r（0≦r＜|b|）をみたす２つの整数 q，r が存在する。」
と自然数（整数）とその加法・乗法・大小の定義，およびそれにもとづいた約数・倍数・公約数の定義をもちいています。
>２はあまり見かけない命題ですが
「２つの自然数 a，b の最小公倍数をＬ最大公約数をＧとするとき，ab＝ＬＧ で，a＝a'Ｇ，b＝b'Ｇ（a'，b' は互いに素）となる。」はわりとよく触れられる話と思っていました。２．はその一部の「ab＝ＬＧ」を文で表現しただけです。
以下 82 の内容を若干手直しして再掲します。
−−−
１．２つの自然数の公倍数はそれらの最小公倍数の倍数である。
（証明）２つの自然数の最小公倍数をＬとするとき，それらの公倍数 m をＬで割った商を q 余りを r とすれば，r＝m−Ｌq より，r は 最小公倍数Ｌより小さい２数の公倍数であるから 0 に等しい。したがって m はＬの倍数である。
１’．２つの自然数の公約数はそれらの最大公約数の約数である。
（証明）２つの自然数 a，b の最大公約数をＧ，a，b の公約数の一つを dとするとき，Ｇと d の最小公倍数をＬとすれば，Ｌ＝Ｇq（q は自然数）と表される。a，b はともに Ｇ，d の公倍数であるから，ともに最小公倍数Ｌすなわち Ｇq の倍数でもある（１．）ので，a＝a'Ｇq，b＝b'Ｇq （a'，b' は自然数）と表される。したがって，Ｇq は a，b の公約数であるから，0＜Ｇq≦Ｇ（Ｇは最大公約数）となる。これより，1≦q≦1 すなわち q＝1 がいえる。よってＬ＝Ｇ は成り立ち，Ｇと d の最小公倍数はＧ，したがって（Ｇは d の倍数であるから） d はＧの約数である。
２．２つの自然数の積はそれらの最小公倍数と最大公約数の積である。
２つの自然数 a，b の最小公倍数をＬとすれば，Ｌ＝ab'＝a'b （a'，b'は自然数）と表される。積 ab は a，b の倍数であるからＬの倍数である（１．）ので，ab＝Ｌg（g は自然数）と表される。このとき，ab＝ab'g＝a'bg であるから，a＝a'g，b＝b'g，Ｌ＝a'b'g が成り立つ。これから，g が a，b の公約数であることがわかるから，a，b の最大公約数をＧとすれば，Ｇ＝gc（c は自然数）と表される（１’．）。このとき，a＝a''Ｇ＝a''cg，b＝b''Ｇ＝b''cg，となるから，a' ＝a''c， b'＝b''c となる。積 a''b''cg（＝ab''＝a''b） は a，b の正の公倍数であるから，0＜Ｌ＝a''b''c^2g≦a''b''cg（Ｌは最小公倍数） であって，これより 1≦c≦1 すなわち c＝1 がいえる。よって，g＝Ｇ で，ab＝ＬＧ，a＝a'Ｇ，b＝b'Ｇ（a'，b' の最大公約数は 1）が成り立つ。
−−−
ご覧の通り素数については一切触れていません。
√2 は有理数ではない。
は，
Ａ 有理数は既約分数で表される。
Ｂ 有理数は分母・分子の少なくとも一方が奇数となる分数で表される。
Ｃ 素因数分解の一意性
のどれをもちいて証明できる。いずれも経験的には明らかですからどれで示してもよいのでしょうけれど，トピ文にあるＡとＢとの比較では，Ｂより，Ａになじんでいる子供が多いなら，教科書がＡをもちいているのは自然でしょう。
Ａは，
Ａ’ ２つの自然数には最大公約数があり，公約数はその約数である。
ことから，
Ｂは，
Ｂ’ 自然数 a にたいし「2^n は a を割り切れない」をみたす負でない整数 n には最小値がある。
ことから導かれる。
どちらも，ＡやＢよりも経験的には明らかな（数学的帰納法あるいは自然数全体の集合が整列集合であることから証明される）
Ｄ ２つの自然数の積はもとの自然数のいずれよりも小さくない。
（あるいは，２つの整数の積の絶対値はもとの整数の絶対値のいずれよりも小さくない。）
もとに，さらに数学的帰納法（あるいは自然数全体の集合が整列集合であること）をもちいてＡやＢが証明できるでしょう。
Ａ’もＢ’もＣをもちいて示すことはできますが，Ｃの方が証明には手間がかかると思います。Ｄから，自然数（整数）は有限個の（既約元としての）素数の積で表されることはいえますが，一意性となると，（既約元である）素数が素元でもあること，
Ｅ ある素数が2つの自然数の積を割り切るなら，その自然数の少なくとも一方を一方を割り切る。
を示す必要があります。これをも，素因数分解の一意性をもちいて示すなら，素因数分解の一意性の根拠はあいまいになるでしょう。少なくとも証明ということが話題になっている場面でそれは適切とはいえないでしょう。Ｅは，
２つの自然数の積はそれらの最大公約数と最小公倍数の積に等しい（ab＝ＧＬ）。
あるいは，
自然数（整数） a，b にたいし，ax＋by（x，y は整数）で表される正の整数の最小値は，a，b の最大公約数である。
から，直接いえるでしょう。これらは素因数分解の一意性を仮定せず，除法・約数・倍数の定義（素数の定義は不要）と，数学的帰納法あるいは自然数全体の集合が整列集合であることから導かれることをこれまでのコメントに書いてきました。
そして以上のように考えていくと，Ａ，Ｂ，Ｃのなかで，Ａを採用する教科書の選択は無難な判断だろうと感じてしまうのです…。
は，
Ａ 有理数は既約分数で表される。
Ｂ 有理数は分母・分子の少なくとも一方が奇数となる分数で表される。
Ｃ 素因数分解の一意性
のどれをもちいて証明できる。いずれも経験的には明らかですからどれで示してもよいのでしょうけれど，トピ文にあるＡとＢとの比較では，Ｂより，Ａになじんでいる子供が多いなら，教科書がＡをもちいているのは自然でしょう。
Ａは，
Ａ’ ２つの自然数には最大公約数があり，公約数はその約数である。
ことから，
Ｂは，
Ｂ’ 自然数 a にたいし「2^n は a を割り切れない」をみたす負でない整数 n には最小値がある。
ことから導かれる。
どちらも，ＡやＢよりも経験的には明らかな（数学的帰納法あるいは自然数全体の集合が整列集合であることから証明される）
Ｄ ２つの自然数の積はもとの自然数のいずれよりも小さくない。
（あるいは，２つの整数の積の絶対値はもとの整数の絶対値のいずれよりも小さくない。）
もとに，さらに数学的帰納法（あるいは自然数全体の集合が整列集合であること）をもちいてＡやＢが証明できるでしょう。
Ａ’もＢ’もＣをもちいて示すことはできますが，Ｃの方が証明には手間がかかると思います。Ｄから，自然数（整数）は有限個の（既約元としての）素数の積で表されることはいえますが，一意性となると，（既約元である）素数が素元でもあること，
Ｅ ある素数が2つの自然数の積を割り切るなら，その自然数の少なくとも一方を一方を割り切る。
を示す必要があります。これをも，素因数分解の一意性をもちいて示すなら，素因数分解の一意性の根拠はあいまいになるでしょう。少なくとも証明ということが話題になっている場面でそれは適切とはいえないでしょう。Ｅは，
２つの自然数の積はそれらの最大公約数と最小公倍数の積に等しい（ab＝ＧＬ）。
あるいは，
自然数（整数） a，b にたいし，ax＋by（x，y は整数）で表される正の整数の最小値は，a，b の最大公約数である。
から，直接いえるでしょう。これらは素因数分解の一意性を仮定せず，除法・約数・倍数の定義（素数の定義は不要）と，数学的帰納法あるいは自然数全体の集合が整列集合であることから導かれることをこれまでのコメントに書いてきました。
そして以上のように考えていくと，Ａ，Ｂ，Ｃのなかで，Ａを採用する教科書の選択は無難な判断だろうと感じてしまうのです…。
一方で，抽象的な数学をもちいて，
Ｃ’ ユークリッド整域は単項イデアル整域であり，単項イデアル整域は一意分解整域である。
から110 のＣを導くという考え方もあるでしょう。けれどＣ’を示すには可算選択公理を仮定する必要があるように思います。「ユークリッド整域」をもう少し制限して，
● ある整列集合Ｗと関数φ：D→W があって，
任意の D の元 a にたいし，a≠0 ならば 0<φ(a)
任意の D の元 a，b にたいし，φ(a)≦φ(ab) （これは110 のＤに相当します）
任意の D の元 a，b にたいし，b≠0 ならば，a＝bq+r（φ(0)≦φ(r)＜φ(b)）をみたす D の元 q，r が存在する。
が成り立つ。
とし，
Ｃ'' 条件●をみたす整域 D は一意分解整域である。
とすれば，可算選択公理なしに，任意の元は有限個の既約元の積で表されること，既約元は素元であること（110 のＥ），をこのトピックに書いた証明をほとんどそのまま繰り返すことにより示すことができるでしょう。根拠（可算選択公理や素因数分解の一意性）があいまいなままで結果を鵜のみにするのは証明が話題になる場面ではふさわしくないと思います。そう考えるなら，証明の手続きが比較的簡単な110のＢという選択には積極的な理由はあるでしょう（それが子供にわかりやすいかどうかについてはよくわかりません）。けれどもし，Ｂの根拠（110 のＤ など）があいまいなら，やはり証明が話題になっている場面ではふさわしくないように思います…，
Ｃ’ ユークリッド整域は単項イデアル整域であり，単項イデアル整域は一意分解整域である。
から110 のＣを導くという考え方もあるでしょう。けれどＣ’を示すには可算選択公理を仮定する必要があるように思います。「ユークリッド整域」をもう少し制限して，
● ある整列集合Ｗと関数φ：D→W があって，
任意の D の元 a にたいし，a≠0 ならば 0<φ(a)
任意の D の元 a，b にたいし，φ(a)≦φ(ab) （これは110 のＤに相当します）
任意の D の元 a，b にたいし，b≠0 ならば，a＝bq+r（φ(0)≦φ(r)＜φ(b)）をみたす D の元 q，r が存在する。
が成り立つ。
とし，
Ｃ'' 条件●をみたす整域 D は一意分解整域である。
とすれば，可算選択公理なしに，任意の元は有限個の既約元の積で表されること，既約元は素元であること（110 のＥ），をこのトピックに書いた証明をほとんどそのまま繰り返すことにより示すことができるでしょう。根拠（可算選択公理や素因数分解の一意性）があいまいなままで結果を鵜のみにするのは証明が話題になる場面ではふさわしくないと思います。そう考えるなら，証明の手続きが比較的簡単な110のＢという選択には積極的な理由はあるでしょう（それが子供にわかりやすいかどうかについてはよくわかりません）。けれどもし，Ｂの根拠（110 のＤ など）があいまいなら，やはり証明が話題になっている場面ではふさわしくないように思います…，
この証明を英語ではどう教えているのか、検索してみた。機械翻訳で申し訳ないが、
「我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます」としている。「仮定」している事が重要なのだと思う。日本の証明のように、最初から既約分数だと、決めつけてはいない。
既約分数だと決めつけられると、「？」となる子供も、仮定だと言う事なら、受け入れられるだろう。小さな事のようだが、こういう些細な事が重要なのだと思う。神は細部に宿る。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
http://www.homeschoolmath.net/teaching/proof_square_root_2_irrational.php
The proof that square root of 2 is irrational :
2の 平方根 が不合理である という証明 ：
Let's suppose √ 2 were a rational number .
√2 が有理数 であった と思いましょう 。
Then we can write it √ 2 = a/b where a,b are whole numbers , b not zero .
それから 、我々 はそれ にa,b が整数 である √ 2 = a/b を書く ことができ ます。そして、b がゼロ ででなく す。
We additionally assume that this a/b is simplified to the lowest terms , since that can obviously be done with any fraction .
それ がどんな分数 で でも 明らかに、 される ことができる 時から 、我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
以下の動画の証明でも、既約分数の箇所を丁寧に時間をかけて説明してるな。日本の証明のように、単に、√２は既約分数で表すことができる. だけで済ましてはいない。
「我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます」としている。「仮定」している事が重要なのだと思う。日本の証明のように、最初から既約分数だと、決めつけてはいない。
既約分数だと決めつけられると、「？」となる子供も、仮定だと言う事なら、受け入れられるだろう。小さな事のようだが、こういう些細な事が重要なのだと思う。神は細部に宿る。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
http://www.homeschoolmath.net/teaching/proof_square_root_2_irrational.php
The proof that square root of 2 is irrational :
2の 平方根 が不合理である という証明 ：
Let's suppose √ 2 were a rational number .
√2 が有理数 であった と思いましょう 。
Then we can write it √ 2 = a/b where a,b are whole numbers , b not zero .
それから 、我々 はそれ にa,b が整数 である √ 2 = a/b を書く ことができ ます。そして、b がゼロ ででなく す。
We additionally assume that this a/b is simplified to the lowest terms , since that can obviously be done with any fraction .
それ がどんな分数 で でも 明らかに、 される ことができる 時から 、我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます。
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以下の動画の証明でも、既約分数の箇所を丁寧に時間をかけて説明してるな。日本の証明のように、単に、√２は既約分数で表すことができる. だけで済ましてはいない。
>>[115]
そうですが、この証明は、√２が無理数である ことの証明、なのですから、分数は既約分数で表すことができる、と仮定する事から始めなければならんのではないか？と言うことですよ。
分数は既約分数で表すことができる、のは、√２が無理数である ことの証明、の手段であって、目的ではない。
ですから、√２が無理数である ことの証明ができるのであれば、分数は既約分数で表すことができようが、できまいが、どうでもよいのです。
ですから、最初に、分数は既約分数で表すことができる、事を仮定し、後に、その証明の必要が生じれば、証明すれば良いだけで、分数は既約分数で表すことができる、事を証明する事が、この証明の目的ではない、と言うことです。
そうですが、この証明は、√２が無理数である ことの証明、なのですから、分数は既約分数で表すことができる、と仮定する事から始めなければならんのではないか？と言うことですよ。
分数は既約分数で表すことができる、のは、√２が無理数である ことの証明、の手段であって、目的ではない。
ですから、√２が無理数である ことの証明ができるのであれば、分数は既約分数で表すことができようが、できまいが、どうでもよいのです。
ですから、最初に、分数は既約分数で表すことができる、事を仮定し、後に、その証明の必要が生じれば、証明すれば良いだけで、分数は既約分数で表すことができる、事を証明する事が、この証明の目的ではない、と言うことです。
>>[116]
で，
2 でいくらでも約分できる分数はない。
については，
分数は既約分数で表すことができる。
と決めつけて示すわけでしょうか？いずれにせよ，はじめの決めつけで混乱する子供は，この決めつけでも混乱するように感じます。
手段として既約分数をもちださなくても
いくらでも２で割り切れる自然数を繰り返し２で割っていくと，より小さい自然数が次々あらわれるが，それを限りなく続けていくことはできない（自然数の無限降下列は存在しない）。
でも示すことはできるでしょう。それが子供にわかりやすいかどうかについてはよくわかりません。
記述はすっきりとしておき，記述の説明でなぜ既約分数をはじめにもちだしているのかをしっかり解説した方が，どうどうめぐりに陥らず，なにを利用して証明しているのかがはっきりするとも感じます。
で，
2 でいくらでも約分できる分数はない。
については，
分数は既約分数で表すことができる。
と決めつけて示すわけでしょうか？いずれにせよ，はじめの決めつけで混乱する子供は，この決めつけでも混乱するように感じます。
手段として既約分数をもちださなくても
いくらでも２で割り切れる自然数を繰り返し２で割っていくと，より小さい自然数が次々あらわれるが，それを限りなく続けていくことはできない（自然数の無限降下列は存在しない）。
でも示すことはできるでしょう。それが子供にわかりやすいかどうかについてはよくわかりません。
記述はすっきりとしておき，記述の説明でなぜ既約分数をはじめにもちだしているのかをしっかり解説した方が，どうどうめぐりに陥らず，なにを利用して証明しているのかがはっきりするとも感じます。
>>[120]
以下の事例は証明をいい加減に扱った結果でしょう。彼らは数学の証明の教養に欠けていたのです。ですから、簡単に騙されてしまったのです。
子供たちに数学を教えると言うことは、証明の哲学を教えると言うことに他なりません。
証明の哲学と言うことであれば、日本の教科書の証明は、慎重さに欠けた、全く、いい加減なものであるという他有りません。このような教科書で数学の証明を学んだ子供たちが成長し、以下の事件を起こしたのです。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
http://news.livedoor.com/article/detail/7063904/
「ｉＰＳ細胞」で虚偽発表の森口尚史氏、その素顔は… 恩師も処分の対象へ
産経新聞2012年10月20日18時56分
人工多能性幹細胞（ｉＰＳ細胞）による世界初の臨床応用という虚偽の発表をした東大病院特任研究員、森口尚史氏（４８）について、東大は懲戒解雇処分にした。森口氏は移植手術について「１件はやった」との主張を崩していないが、東大は少なくとも５件は虚偽だったと判断、「大学の名誉、信用を著しく傷つけた」とした。虚偽発覚から１週間。森口氏の欺瞞（ぎまん）は、恩師ら他の研究者にも影響を広げる。
■「ノーベル賞候補」…近所で研究成果を誇示
「日本では発表できない研究をニューヨークで発表する」
今月２日、千葉県市川市の自宅近くのクリーニング店で、森口氏はこの店の女性（６８）にこう豪語していた。自らを「ノーベル賞候補」と称し、“研究成果”も誇示した。
渡米前にもこの店に寄り、モスグリーンのジャケットを持ち込んだ。「ニューヨークの発表で着るから、必ず１０日朝までに届けて」。こう依頼した。
この女性によると、森口氏は来店のたびに１時間ほど立ち話をし、「ハーバード大で研究している」「研究仲間が気に入らない」などと話していたという。
そんな森口氏が語った“研究成果”が、ｉＰＳ細胞から作った心筋細胞を重症の心不全患者に移植する手術を米国で６人の患者に実施したというものだった。
■身分詐称、盗用…疑惑噴出
これが公になったのは、今月１１日。しかし、その後の会見で「５件は未実施」と嘘を認めた。実施したとする１件についても実施時期を「２月１４日」から「昨年６月３日」に訂正。くだんのクリーニング店によると、２月１５日に衣類を預けた記録があり、当初の説明の２月には渡米すらしていなかったようだ。
肩書の詐称や論文の盗用疑惑も浮上している。東大医学部ｉＰＳ細胞バンク研究室所属、ハーバード大客員講師…。東大などによると、いずれも虚偽だった。英科学誌「ネイチャー」は森口氏の過去の論文に、ノーベル賞受賞が決まった山中伸弥京大教授の論文を盗用したとみられると指摘した。
また、森口氏は国が助成したプロジェクトから昨年２月〜今年９月、計９６７万円を人件費として受領していた。だが東大病院によると、同病院では助成の対象とされたｉＰＳ細胞の凍結保存は行われていなかったとされ、内閣府が調査を進めている。
元最高検検事で中央大法科大学院の奥村丈二教授（刑事法）は「研究が行われず、生活費への流用目当ての申請であれば、詐欺罪に問われる可能性がある」と指摘する。
さらに、手術を行ったとする昨年６月の渡米時、母校の東京医科歯科大に「学会に招待された」との理由で渡航費を申請し、負担してもらっていたが、学会のプログラムに森口氏の名前がなかったことも判明している。同大は調査を進め、結果次第で返還を求める方針だ。
■共著が多い恩師にも波及、処分の対象
森口氏の問題は、恩師である東京医科歯科大の佐藤千史（ちふみ）教授（６３）らにも及ぶ。
問題となった臨床応用に関する論文など計２０本の共著がある佐藤氏について、同大の調査委員会は１６、１８日に聴取。佐藤氏が「論理的に間違っていないかアドバイスをしただけ」と証言したため、同大は「研究の中身について検証せず、共著となることはありえない」と判断し、処分の対象とする見通しだ。
調査委の調べでは、佐藤氏は森口氏が同大大学院に在学中の指導教官。９年には同大の非常勤講師に推挙している。
問題となった「ｉＰＳ細胞の臨床応用」について、産経新聞は、最初に森口氏の研究成果を報じた読売新聞の記事を受けて佐藤氏に電話取材し、「（読売新聞報道の）事実関係はあっている」との説明を受けた。佐藤氏は「うかつなところがあったかもしれない。大学から言うなと言われているので、今は何も答えられない」としている。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
以下の事例は証明をいい加減に扱った結果でしょう。彼らは数学の証明の教養に欠けていたのです。ですから、簡単に騙されてしまったのです。
子供たちに数学を教えると言うことは、証明の哲学を教えると言うことに他なりません。
証明の哲学と言うことであれば、日本の教科書の証明は、慎重さに欠けた、全く、いい加減なものであるという他有りません。このような教科書で数学の証明を学んだ子供たちが成長し、以下の事件を起こしたのです。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
http://news.livedoor.com/article/detail/7063904/
「ｉＰＳ細胞」で虚偽発表の森口尚史氏、その素顔は… 恩師も処分の対象へ
産経新聞2012年10月20日18時56分
人工多能性幹細胞（ｉＰＳ細胞）による世界初の臨床応用という虚偽の発表をした東大病院特任研究員、森口尚史氏（４８）について、東大は懲戒解雇処分にした。森口氏は移植手術について「１件はやった」との主張を崩していないが、東大は少なくとも５件は虚偽だったと判断、「大学の名誉、信用を著しく傷つけた」とした。虚偽発覚から１週間。森口氏の欺瞞（ぎまん）は、恩師ら他の研究者にも影響を広げる。
■「ノーベル賞候補」…近所で研究成果を誇示
「日本では発表できない研究をニューヨークで発表する」
今月２日、千葉県市川市の自宅近くのクリーニング店で、森口氏はこの店の女性（６８）にこう豪語していた。自らを「ノーベル賞候補」と称し、“研究成果”も誇示した。
渡米前にもこの店に寄り、モスグリーンのジャケットを持ち込んだ。「ニューヨークの発表で着るから、必ず１０日朝までに届けて」。こう依頼した。
この女性によると、森口氏は来店のたびに１時間ほど立ち話をし、「ハーバード大で研究している」「研究仲間が気に入らない」などと話していたという。
そんな森口氏が語った“研究成果”が、ｉＰＳ細胞から作った心筋細胞を重症の心不全患者に移植する手術を米国で６人の患者に実施したというものだった。
■身分詐称、盗用…疑惑噴出
これが公になったのは、今月１１日。しかし、その後の会見で「５件は未実施」と嘘を認めた。実施したとする１件についても実施時期を「２月１４日」から「昨年６月３日」に訂正。くだんのクリーニング店によると、２月１５日に衣類を預けた記録があり、当初の説明の２月には渡米すらしていなかったようだ。
肩書の詐称や論文の盗用疑惑も浮上している。東大医学部ｉＰＳ細胞バンク研究室所属、ハーバード大客員講師…。東大などによると、いずれも虚偽だった。英科学誌「ネイチャー」は森口氏の過去の論文に、ノーベル賞受賞が決まった山中伸弥京大教授の論文を盗用したとみられると指摘した。
また、森口氏は国が助成したプロジェクトから昨年２月〜今年９月、計９６７万円を人件費として受領していた。だが東大病院によると、同病院では助成の対象とされたｉＰＳ細胞の凍結保存は行われていなかったとされ、内閣府が調査を進めている。
元最高検検事で中央大法科大学院の奥村丈二教授（刑事法）は「研究が行われず、生活費への流用目当ての申請であれば、詐欺罪に問われる可能性がある」と指摘する。
さらに、手術を行ったとする昨年６月の渡米時、母校の東京医科歯科大に「学会に招待された」との理由で渡航費を申請し、負担してもらっていたが、学会のプログラムに森口氏の名前がなかったことも判明している。同大は調査を進め、結果次第で返還を求める方針だ。
■共著が多い恩師にも波及、処分の対象
森口氏の問題は、恩師である東京医科歯科大の佐藤千史（ちふみ）教授（６３）らにも及ぶ。
問題となった臨床応用に関する論文など計２０本の共著がある佐藤氏について、同大の調査委員会は１６、１８日に聴取。佐藤氏が「論理的に間違っていないかアドバイスをしただけ」と証言したため、同大は「研究の中身について検証せず、共著となることはありえない」と判断し、処分の対象とする見通しだ。
調査委の調べでは、佐藤氏は森口氏が同大大学院に在学中の指導教官。９年には同大の非常勤講師に推挙している。
問題となった「ｉＰＳ細胞の臨床応用」について、産経新聞は、最初に森口氏の研究成果を報じた読売新聞の記事を受けて佐藤氏に電話取材し、「（読売新聞報道の）事実関係はあっている」との説明を受けた。佐藤氏は「うかつなところがあったかもしれない。大学から言うなと言われているので、今は何も答えられない」としている。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
コメント114 に有るように、
We additionally assume that this a/b is simplified to the lowest terms , since that can obviously be done with any fraction .
それ がどんな分数 で でも 明らかに、 される ことができる 時から 、我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます。
a/b が既約分数 まで 単純化される 事すら、仮定とするほど、慎重に証明しています。ここまで慎重であって、初めて証明と言えるのであり、これが証明の哲学なのです。
日本の教科書には、この証明の哲学が無いと言うことです。
We additionally assume that this a/b is simplified to the lowest terms , since that can obviously be done with any fraction .
それ がどんな分数 で でも 明らかに、 される ことができる 時から 、我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます。
a/b が既約分数 まで 単純化される 事すら、仮定とするほど、慎重に証明しています。ここまで慎重であって、初めて証明と言えるのであり、これが証明の哲学なのです。
日本の教科書には、この証明の哲学が無いと言うことです。
>>[129]
「我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます」としている。「仮定」している点が日本の教科書と違いますよね。
日本の教科書は仮定していない。仮定しない事は論理の飛躍ではないか？全ての子供たちに自明な事だとは言えない以上、この飛躍は子供たちにとっては、証明として正しくない。
正しくない証明を学ばされた子供たちは、証明の哲学、つまりは数学の哲学を学ぶ事ができず、その結果、以下のような事態を生じさせるのです。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
人工多能性幹細胞（ｉＰＳ細胞）による世界初の臨床応用という虚偽の発表をした東大病院特任研究員、森口尚史氏（４８）について、東大は懲戒解雇処分にした。森口氏は移植手術について「１件はやった」との主張を崩していないが、東大は少なくとも５件は虚偽だったと判断、「大学の名誉、信用を著しく傷つけた」とした。虚偽発覚から１週間。森口氏の欺瞞（ぎまん）は、恩師ら他の研究者にも影響を広げる。
「我々 はこの a/b が既約分数 まで 単純化される とさらに 仮定し ます」としている。「仮定」している点が日本の教科書と違いますよね。
日本の教科書は仮定していない。仮定しない事は論理の飛躍ではないか？全ての子供たちに自明な事だとは言えない以上、この飛躍は子供たちにとっては、証明として正しくない。
正しくない証明を学ばされた子供たちは、証明の哲学、つまりは数学の哲学を学ぶ事ができず、その結果、以下のような事態を生じさせるのです。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
人工多能性幹細胞（ｉＰＳ細胞）による世界初の臨床応用という虚偽の発表をした東大病院特任研究員、森口尚史氏（４８）について、東大は懲戒解雇処分にした。森口氏は移植手術について「１件はやった」との主張を崩していないが、東大は少なくとも５件は虚偽だったと判断、「大学の名誉、信用を著しく傷つけた」とした。虚偽発覚から１週間。森口氏の欺瞞（ぎまん）は、恩師ら他の研究者にも影響を広げる。
たとえば，
>110
>Ａ’ ２つの自然数には最大公約数があり，公約数はその約数である。
を仮定するなら，
−−−
※ √2＝a/b（a，b 整数，b≠0）⇒2 は a と b の公約数となる。
が成り立つ。一方，a と b の最大公約数を Ｇ とすれば，
a＝a'Ｇ（a' は整数）
b＝b'Ｇ（b' は整数）
とあらわせる。このとき，
√2＝a'/b'（a'，b' 整数，b'≠0）
となり，※より，2 は a' と b' の公約数である。
よって，
a'＝2a''（a'' は整数）
b'＝2b''（b'' は整数）
となるが，
a＝a''・2Ｇ（a'' は整数）
b＝b''・2Ｇ（b'' は整数）
となり，Ｇは正の整数で，a と b の最大公約数は Ｇ であったから，Ｇ≦2Ｇ≦Ｇ。Ｇ≠0 より，1＝2。これは1≠2 に反する。
−−−
とでもすれば少しは「論理的」かもしれませんが，より単純な，
−−−
x は有理数である。⇔ x＝a/b（a，b 整数，b≠0，a，b の最大公約数は 1）と表される。
であった。一方
√2＝a/b（a，b 整数，b≠0，a，b の最大公約数は 1）⇒2 は a と b の公約数となる。
が成り立つ。これより，
√2 は有理数である。⇒２ は 1 の約数である。
も成り立つ。２ は 1 の約数ではないから，√2 は有理数ではない。
−−−
の方がすっきりしていると感じます。
>110
>Ａ’ ２つの自然数には最大公約数があり，公約数はその約数である。
を仮定するなら，
−−−
※ √2＝a/b（a，b 整数，b≠0）⇒2 は a と b の公約数となる。
が成り立つ。一方，a と b の最大公約数を Ｇ とすれば，
a＝a'Ｇ（a' は整数）
b＝b'Ｇ（b' は整数）
とあらわせる。このとき，
√2＝a'/b'（a'，b' 整数，b'≠0）
となり，※より，2 は a' と b' の公約数である。
よって，
a'＝2a''（a'' は整数）
b'＝2b''（b'' は整数）
となるが，
a＝a''・2Ｇ（a'' は整数）
b＝b''・2Ｇ（b'' は整数）
となり，Ｇは正の整数で，a と b の最大公約数は Ｇ であったから，Ｇ≦2Ｇ≦Ｇ。Ｇ≠0 より，1＝2。これは1≠2 に反する。
−−−
とでもすれば少しは「論理的」かもしれませんが，より単純な，
−−−
x は有理数である。⇔ x＝a/b（a，b 整数，b≠0，a，b の最大公約数は 1）と表される。
であった。一方
√2＝a/b（a，b 整数，b≠0，a，b の最大公約数は 1）⇒2 は a と b の公約数となる。
が成り立つ。これより，
√2 は有理数である。⇒２ は 1 の約数である。
も成り立つ。２ は 1 の約数ではないから，√2 は有理数ではない。
−−−
の方がすっきりしていると感じます。
>>[131]
マル(´¬｀)さんは，背理法を批判しているのではなく，トピ文の√2 が有理数でないことの証明において，はじめから有理数が既約分数で表されることをもちだしていることを批判されているのだと思います。もう少しいうと，結局は有理数が既約分数で表されることを利用する証明でどこでそれを宣言するかについて議論したいようです。
わたしは教師が解説することを前提とした教科書の記述に余分なことを書いてかえって混乱させるより経験から「明らか」と感じられる「有理数が既約分数で表されること」をはじめにもちだした証明を提示し，説明する人がなぜそうするのかを解説すればよいと感じています。
√2 が有理数でないこと
を現実の計算結果として直接示すのは困難でしょう。現実の計算結果は必ず有限桁で終わるでしょうから。逆に，
0.11111111111111111111111111111111111111111111111111…
という計算結果からこれが有理数という結論は導けないでしょう。実際，
1/3＋√2×10^{-100000000000000000000000000000000000000}
は無理数でしょう。証明にはどうしても無限にかかわる議論（そこにおいて論理的飛躍を避けたいなら，数学的帰納法あるいは正の整数全体の集合が整列集合であることをもちいることになると思います）がなんらかの形で入ってくることになるでしょう。無限を前面にだしてくると難しいと感じる子供たちは多いかもしれません。「有理数は既約分数で表される」というかたちで，無限をうまく処理するというのは，一つの手だと思います。
マル(´¬｀)さんは，背理法を批判しているのではなく，トピ文の√2 が有理数でないことの証明において，はじめから有理数が既約分数で表されることをもちだしていることを批判されているのだと思います。もう少しいうと，結局は有理数が既約分数で表されることを利用する証明でどこでそれを宣言するかについて議論したいようです。
わたしは教師が解説することを前提とした教科書の記述に余分なことを書いてかえって混乱させるより経験から「明らか」と感じられる「有理数が既約分数で表されること」をはじめにもちだした証明を提示し，説明する人がなぜそうするのかを解説すればよいと感じています。
√2 が有理数でないこと
を現実の計算結果として直接示すのは困難でしょう。現実の計算結果は必ず有限桁で終わるでしょうから。逆に，
0.11111111111111111111111111111111111111111111111111…
という計算結果からこれが有理数という結論は導けないでしょう。実際，
1/3＋√2×10^{-100000000000000000000000000000000000000}
は無理数でしょう。証明にはどうしても無限にかかわる議論（そこにおいて論理的飛躍を避けたいなら，数学的帰納法あるいは正の整数全体の集合が整列集合であることをもちいることになると思います）がなんらかの形で入ってくることになるでしょう。無限を前面にだしてくると難しいと感じる子供たちは多いかもしれません。「有理数は既約分数で表される」というかたちで，無限をうまく処理するというのは，一つの手だと思います。
「教科書に載っている、√２が無理数である ことの証明」という事ですが、最近では例題としては載っていない教科書がほとんどです。(最後に研究としては一応載せてますが)
多くの学校が採用している「高等学校 数学?」と「新編 数学?」に載っている背理法の例題は、
例題
ルート2が無理数であることを用いて，次の命題を証明せよ。
1+ルート2 は無理数である。
解答
1+ルート2 が無理数でないと仮定すると，1+ルート2 は有理数である。
その有理数を r とすると， 1+ルート2=r より
ルート2=r-1
r が有理数ならば r-1 も有理数であるから，この等式は ルート2 が無理数であることに矛盾する。
したがって，1+ルート2 は無理数である。
解答にはa/b も使っていません。そして背理法の問題はこれだけです。これが今の教科書の現実です。
多くの学校が採用している「高等学校 数学?」と「新編 数学?」に載っている背理法の例題は、
例題
ルート2が無理数であることを用いて，次の命題を証明せよ。
1+ルート2 は無理数である。
解答
1+ルート2 が無理数でないと仮定すると，1+ルート2 は有理数である。
その有理数を r とすると， 1+ルート2=r より
ルート2=r-1
r が有理数ならば r-1 も有理数であるから，この等式は ルート2 が無理数であることに矛盾する。
したがって，1+ルート2 は無理数である。
解答にはa/b も使っていません。そして背理法の問題はこれだけです。これが今の教科書の現実です。
>>[142]
おっしゃるとおり整数全体の集合Ｚとするとき，
(a，b)〜(c，d) ⇔ ad = bc
によってＺ×(Ｚ−{0}) 上の関係 〜 を定義し，
(a，b)^2〜(2，1) かつ (a，b)∈Ｚ×(Ｚ−{0}) となる a，b が存在する。
すなわち，
（＊）a^2・1＝b^2・2 をみたす 整数 a と 0 でない整数 b が存在する。
を考えると，
√2 は有理数である。⇒（＊）
が成り立つでしょうから（＊）は整数についての命題ですから問題は整数の話に帰着しますよね。
でもそうしたとしても，整数についての命題
（＊）⇒ 2 は 1 の約数である。
などを示すには整数についての性質のいくつかが必要になるでしょう。
おっしゃるとおり整数全体の集合Ｚとするとき，
(a，b)〜(c，d) ⇔ ad = bc
によってＺ×(Ｚ−{0}) 上の関係 〜 を定義し，
(a，b)^2〜(2，1) かつ (a，b)∈Ｚ×(Ｚ−{0}) となる a，b が存在する。
すなわち，
（＊）a^2・1＝b^2・2 をみたす 整数 a と 0 でない整数 b が存在する。
を考えると，
√2 は有理数である。⇒（＊）
が成り立つでしょうから（＊）は整数についての命題ですから問題は整数の話に帰着しますよね。
でもそうしたとしても，整数についての命題
（＊）⇒ 2 は 1 の約数である。
などを示すには整数についての性質のいくつかが必要になるでしょう。
>144
>（＊）a^2・1＝b^2・2 をみたす 整数 a と 0 でない整数 b が存在する。
たとえば，整数の性質
>106
>１．２つの自然数の公倍数はそれらの最小公倍数の倍数である。
>２．２つの自然数の積はそれらの最小公倍数と最大公約数の積である。
などをもちいて，
（＊）⇒1＝2
を以下のように導けるでしょう。
−−−
（＊）を仮定します。b≠0 より，a≠0 で，0 でない２つの整数 a，b の最小公倍数Ｌにたいし，
（１）Ｌ＝ab'＝a'b
となる 0 でない２つの整数 a'，b' があるでしょう。ここで，Ｌの最小性から a' と b' の最大公約数は 1 でしょう。（＊）より
0＝(a^2−2b^2)b'^2＝(a'^2−2b'^2)b^2
となり，b^2≠0 より，
（２） a'^2＝2b'^2
となるでしょう。ここで a'，b' の最大公約数は 1 ですから，２．より a'，b' の最小公倍数は |a'||b'| となります。よって１．より，
（３）|a'|^2＝2|b'|^2＝|a'||b'|k（k は整数）
と表されるでしょう。 a'≠0 より，
|a'|＝|b'|k
となりますが，これは，|b'| が a' と b' の最大公約数になることを示していますから，|b'|＝1 となるでしょう。これと（２）より，a'^2＝2。したがって，|a'| は 2 の正の約数となりますから，|a'|＝1，２ となるでしょう。|a'|＝1 のときは，（３）より 1＝2，|a'|＝2 のときは （３）より 4＝2 したがって，1＝2 となるでしょう。よって，
（＊）⇒1＝2
が成り立ちます。
−−−
144
> √2 は有理数である。⇒（＊）
とあわせれば，
√2 は有理数である。⇒ 1＝2
を示すことができるでしょう。1≠2 より√2 は有理数でないことが分かります。
こうした証明が子供たちにわかりやすいとは思えません。教科書にあるように問題を整数の話に帰着する前に既約分数（a'/b'）などをもちだした方がずっとすっきりするでしょう。
>（＊）a^2・1＝b^2・2 をみたす 整数 a と 0 でない整数 b が存在する。
たとえば，整数の性質
>106
>１．２つの自然数の公倍数はそれらの最小公倍数の倍数である。
>２．２つの自然数の積はそれらの最小公倍数と最大公約数の積である。
などをもちいて，
（＊）⇒1＝2
を以下のように導けるでしょう。
−−−
（＊）を仮定します。b≠0 より，a≠0 で，0 でない２つの整数 a，b の最小公倍数Ｌにたいし，
（１）Ｌ＝ab'＝a'b
となる 0 でない２つの整数 a'，b' があるでしょう。ここで，Ｌの最小性から a' と b' の最大公約数は 1 でしょう。（＊）より
0＝(a^2−2b^2)b'^2＝(a'^2−2b'^2)b^2
となり，b^2≠0 より，
（２） a'^2＝2b'^2
となるでしょう。ここで a'，b' の最大公約数は 1 ですから，２．より a'，b' の最小公倍数は |a'||b'| となります。よって１．より，
（３）|a'|^2＝2|b'|^2＝|a'||b'|k（k は整数）
と表されるでしょう。 a'≠0 より，
|a'|＝|b'|k
となりますが，これは，|b'| が a' と b' の最大公約数になることを示していますから，|b'|＝1 となるでしょう。これと（２）より，a'^2＝2。したがって，|a'| は 2 の正の約数となりますから，|a'|＝1，２ となるでしょう。|a'|＝1 のときは，（３）より 1＝2，|a'|＝2 のときは （３）より 4＝2 したがって，1＝2 となるでしょう。よって，
（＊）⇒1＝2
が成り立ちます。
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144
> √2 は有理数である。⇒（＊）
とあわせれば，
√2 は有理数である。⇒ 1＝2
を示すことができるでしょう。1≠2 より√2 は有理数でないことが分かります。
こうした証明が子供たちにわかりやすいとは思えません。教科書にあるように問題を整数の話に帰着する前に既約分数（a'/b'）などをもちだした方がずっとすっきりするでしょう。
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