数学の質問＆宿題○投げ場コミュの二次関数の場合わけについて教えて下さい

問題教えて下さい！

aを定数とするとき、ｘの二次関数ｙ＝ｘ＾2－2aｘ-2ｘ+a＾2+2a
について、次の問いを答えなさい。１、区間０≦ｘ≦2におけるｙの最大値aで表しなさい。

2、区間０≦ ｘ≦2におけるｙの最小値aで表しなさい。

文章長いですがよろしくお願いいたします。

解答みると、
xの最小値、最大値が書いてあるのですが、どう解いたら最大値や最小値がでてくるのですか？

お時間ある方よろしくお願いします。

コメント(4)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 10月24日 15:50

yの最大、最小を求める問題で解答にxの最大最小？という所に突っ込みを入れたくなりますが。。。
とりあえず無い知恵絞ってみます

y=ｘ＾2－2aｘ-2ｘ+a＾2+2a
=x^2-2(a+1)x+a^2+2a
=x^2-2(a+1)x+a^2+2a+1-1
=x^2-2(a+1)x+(a+1)^2-1
=(x-(a+1))^2-1
=(x-(a+1)+1)(x-(a+1)-1)
=(x-a)(x-a-2)

よって、この関数はa、a+2でy軸と交差、ピーク値はx=a+1の時y=-1ということがわかります
次に区間０≦ ｘ≦2で考えると、この範囲でグラフの形状は
①右下がり（ピークはx>2の範囲）
②右上がり（ピークはx<2の範囲）
③Ｕ字（ピークは０≦ ｘ≦2の範囲）
の３パターンが考えられます

それぞれの場合で、
①の場合：最大:x=0の時y=a^2+2a 最小:x=2の時 y=a^2-2a （この時a^2+2a>a^2-2a となり、a>0）

②の場合：最小:x=0の時y=a^2+2a 最大:x=2の時 y=a^2-2a （この時a^2+2a<a^2-2a となり、a<0）

③の場合は少し考慮が必要です。ピークの位置がx=1の左右どちらになるかで最大値を取るのがx=0の時かx=2の時になるか変わります。
ピークが0≦x＜1にある場合、最大:x=2の時 y=a^2-2a 最小:y=-1
ピークが1＜x≦2にある場合、最大:x=0の時 y=a^2+2a 最小:y=-1
ピークがx=1にある場合、x=0とx=2で共に最大値a^2+2a(a^2-2a) 最小:y=-1

aの値の範囲について問題文で触れられて無い以上、aの値の範囲で場合分けするのも良くないかと思いこういう書き方にしてみました。ので、（）で括ったaの値の範囲については蛇足かもしれません。

[2] mixiユーザー 10月25日 06:35

解答は、もう少し整理した方がよいと思います。

（グラフの形を考えるのが普通です。まずは、平方完成です。）

ｙ=ｘ＾2－2aｘ-2ｘ+a＾2+2a
={ｘ－（a+1)}＾2-1
より、軸はｘ＝a+1 頂点は　（a+1,-1)　下に凸の放物線

（軸の位置により場合分けします。）

１　最大値は、軸の位置から遠いところで、与えられた範囲の中央は　x=1 だから
a+1≦1　つまり　a≦0　の場合　x=2　のとき　y=a^2-2a
1＜a+1　つまり　0＜a　の場合　x=0 のとき　y=a^2+2a

2　最小値は、軸が与えられた範囲に入るかどうかで分ける。軸が入らない場合は軸に近い方が最小。
a+1＜0　つまり　a＜-1　の場合　x=0　のとき　y=a^2+2a
0≦a+1≦2　つまり　-1≦a≦1　の場合　x=a+1 のとき　ｙ=-1
2＜a+1　つまり　1＜a　の場合　x=2 のとき　y=a^2-2a

（記述なら、グラフを描くこと）

[3] mixiユーザー 10月29日 00:15

>>[1]

ありがとうございます。
がんばって解いてみます。

[4] mixiユーザー 10月29日 00:15

>>[2]
ありがとうございます。
また分からなくなったらよろしくお願いします。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ