数学の質問＆宿題○投げ場コミュの「三角形の内心」より

高校数学A
「三角形の五心」の範囲から、「内心」より

模範解答6行目（写真「→」の行）にて、

「PQ平行BCより、PQ:BC＝AI:AD＝2：3」とありますが、

“三角形の辺と平行線の関係”から、
PQ:BC = AP:AB = AQ:AC ならばわかるのですが、なぜAI:ADがさらっと出てきたのかわかりません。

もしかして角Aから辺BCに線を引き交わる点をXとし、線分PQと交わる点をYとすると、
常にPQ:BC = AY:AX になるのでしょうか。

コメント(11)

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[1] mixiユーザー 01月07日 15:16

>なぜAI:ADがさらっと出てきたのかわかりません。

多分合点がイッていないのは、角の二等分線の性質だと思います。
テキストの図だと線が沢山入って分かりづらいので図参照。
(向かい合う辺の比で底辺を分けます。△ABCの場合も、△BDAの場合も同様。辺の比率が違うのみ。)

>もしかして角Aから辺BCに線を引き交わる点をXとし、線分PQと交わる点をYとすると、
>常にPQ:BC = AY:AX になるのでしょうか。

はい。
角A共通で、PQ//BCですから、
△ABC∽△APQで(相似の関係)となりますから、
この場合、AD:AIが相似比となっていて、
仰っているケースでは、AX:AYが相似比となるのが自明です。

[2] mixiユーザー 01月07日 15:21

書き忘れ

>もしかして角Aから辺BCに線を引き交わる点をXとし、線分PQと交わる点をYとすると、
>常にPQ:BC = AY:AX になるのでしょうか。

PQ//BCが前提ですから、PQがBCと角度をなす時(PQがABに対して傾いている辺の時)は
相似が成り立たなくなりますので、その時はAY:AX が成り立たなくなります。

傾いている時などは、テキストにもあるとおり、メラネテウスやチェバの定理などを使いますが、余裕があれば覚えておいたほうが得策でしょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%8D%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%90%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

[3] mixiユーザー 01月08日 19:17

dnaさま

レスありがとうございます。

『角の二等分線の性質』について、
添付写真の三角形（出題の三角形を簡略化したもの）において、
AP:PI = AQ:QI　また、
AB:BD = AC:CD なのはOKです。

しかしPQ:BC = AI:ID　がどこから導かれたのかわかりません。

『三角形の相似』について、
三角形APQと三角形ABCは相似の関係であり、
「3組の辺の比がそれぞれ等しい」のはOKです。

三角形が相似の関係だった場合、「3組の辺」だけではなく、
今回のような角Aの二等分線も相似比の対象に含まれるということでしょうか。

『メネラウスの定理』について、
次の単元で登場します！

[4] mixiユーザー 01月09日 16:04

>>[3] △APIと△ABDも相似なのでAI:ID=AP:ABとなることから分かりますでしょうか？

[5] mixiユーザー 01月10日 14:41

>>[3]
>三角形が相似の関係だった場合、「3組の辺」だけではなく、
>今回のような角Aの二等分線も相似比の対象に含まれるということでしょうか。

PQ:BC = AI:IDに関しては、
二等分線関係ないですね。

相似比のみです。
図の赤:青は三角形内部を同頂点から引いた線ならば相似比(:全体-部分)として一定です。

一度、興味を持った事はご自分で作図して、測定して、実体験として本当だったと分かれば、より身に付くと思います。(私もそうでした。)

[6] mixiユーザー 01月10日 19:06

4　クッキー　様

＞△APIと△ABDも相似なのでAI:ID=AP:ABとなることから分かります（？）

はい、わかります。
AP:AB = AI:AD は相似比の関係からすっきりわかるのですが、
なぜPQ:BC = AI:ADとなるのかがわかりません。

添付図の蛍光ペンのように、三角形の相似の部分（斜線部）と、蛍光ペンの部分は範囲が異なっているので、
三角形APIと三角形ABDが相似であることと、線分PQ、BCの関係がどうつながるのかがわからないのです。
（相似に含まれていない線分IQと線分DCの部分がわからない）

[7] mixiユーザー 01月10日 19:07

5.　dna　さま

度々ありがとうございます。

感覚的にも、また実際の作図からも
＞三角形内部を同頂点から引いた線ならば相似比(:全体-部分)として一定
なのは掴めてきました。

これはあまりにも当然の関係なのでしょうか。
感覚的にはそうだろうと理解できるのですが、自分ではどうやってもその証明方法が思いつきませんでした。

なんとなくは納得できるので、頭が冷えるまでいったん寝かせてみます…。

ありがとうございました。

[8] mixiユーザー 01月12日 17:33

>>[6] 返信遅くなりました。
△ABCと△APQも相似なのでAP:AB =PQ:BCになります。さきほどのことからAP:AB = AI:ADだったのでこれらを組み合わせると求めたい関係式がわかりますよ

[9] mixiユーザー 01月13日 09:35

8 クッキー様

レスありがとうございます。

ご指摘の導入で完璧にすっきりしました！！！

AP:AB = PQ:BC　　また
AP:AB = AI:AD

ゆえに
PQ:BC = AI:AD

これこそが求めていたスッキリ感です（笑）！！

何度もご指導いただき誠にありがとうございました。

[10] mixiユーザー 01月13日 11:44

>>[9] 良かったです

[11] mixiユーザー 02月15日 22:39

内心は内角の二等分線が一点公会する交点。これと平行線が絡むときは、二等辺三角形がキーになります。
∠QIC＝∠DCI (PQ//BCの錯角)＝∠QCI (角の二等分) 、2角が等しい三角形で△QICは二等辺三角形、QI＝QC。
同様に△PIBも二等辺三角形でPI＝PB。△ABCと△APQの相似比はそれぞれの周の長さで21:14＝3:2。
入試なら、これが速くて分かりやすいと思うよ。

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