数学的帰納法は帰納法じゃないコミュの二等辺三角形のパラドックス

ノートパッドで絵を描こうとしたのですが、うまく行かず、プリントアウトして写真でアップします。

一番左の図が二等辺三角形だと思ってくださいm(_ _;)m

各辺の二等分点を直線で結びますと小さな二等辺三角形が二つ出来ます。
この二つの二等辺三角形の４つの斜辺を全て足し合わせた長さは大きな二等辺三角形の二つの斜辺の和に等しいことが分かります。

こんどは二つの小さな三角形の中で同じようなことを繰り返します。
そうしますと更に細かな折れ線が出来ますがこの折れ線の長さは元の大きな二等辺三角形の斜辺の和に等しいままです。

この操作を無限に繰り返しますと折れ線は更に細かくなり底辺ＢＣへ限りなく近づきます。
ところがいくら細かい折れ線になってもその長さは変わりません。

結果としまして

ＡＢ+ＡＣ＝ＢＣ

となり、二等辺三角形の二辺の和は底辺に等しいことになります。

これは矛盾ですね(o^^o)

コメント(11)

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[2] mixiユーザー 08月08日 20:43

ミズさん＃
各ステップごとに底辺との交点の数が倍倍と増えます。
Ｎ回目には２＾Ｎ個の交点が出来ます。

Ｎ→∞のときに２＾Ｎ→？

というのも興味ある問題です。

このパラドックスは長さや面積、更に体積というものが結構、難しい概念であることを示していると思います。

[3] mixiユーザー 08月08日 21:16

数学的帰納法で任意の自然数Nにおいて長さが常に一定値だと言えますよね。

しかし無限大にすると妙なことになる理由がわかりません。

[4] mixiユーザー 08月08日 23:20

ＹＡＳＵさん＃

Ｎ個の集合の部分集合全体こ個数は２＾Ｎ個になります。
これは

（１+１）＾Ｎ＝（Ｎ　０）+（Ｎ　１）+・・・+（Ｎ　Ｎ）

ことから分かります。

（Ｎ　ｒ）＝Ｎ個の中からｒ個を取り出す仕方の数（ｎＣｒと書く組み合せの場合の数）とします。

Ａを無限集合としたときも部分集合全体の基数を２＾Ａと表します。

Ｎが無限大になるので

２＾Ｎ　→　２＾∞

となり、実数の基数になると考える人もいます。

折れ線が底辺と一致するなら、交点も実数の基数になると思われるのでこのように勘違いする人がいます。

[6] mixiユーザー 08月10日 00:12

二等辺三角形の２辺をＮ回折り曲げた時に出来るＮ＋１個の二等辺三角形の底辺に対する２辺の成す角度は常に一定です。
Ｎ→∞の時でも、この角度は変化しません。

つまり、ここで生じる小さな三角形は、元の二等辺三角形とは常に相似であり、Ｎ→∞の時でも相似です。

従って、Ｎ→∞の時でも、二等辺三角形の２辺の和は、常に底辺よりも大きくなります。

騙されそうになりましたが、もう安心です。

[8] mixiユーザー 08月10日 01:45

ミズさん

そうなんです、おっしゃるように、どこがパラドックスになるのかが、見えて来ないのです。

数論の知識が無いためなのか？　それとも、なにかポイントを外しているだけなのか？

ただ最初にユックさんの説明を読んだ時には、確実に不思議と感じたのです。

理解できない事柄に出くわした時、不思議→不安→否定、の典型的心理プロセスが働き、まず否定したところなんです。

考えれば考えるほど、当たり前の事象に感じられます。

[9] mixiユーザー 08月12日 03:14

ミズさん、ＹＡＳＵさん、お早うございます。暑さでこんな時間に目が覚めてしまいました(^^;

数学では何らかの変換や操作で変らない量を不変量と言います。
この問題の場合は折れ線の長さが不変量となり、結局、底辺ＢＣの長さとは違っていますので、この無限回の操作では折れ線は「極限」を持たないか底辺には近づかないということになります。
逆の発想ですね(^^;☆\(▼▼#)

別の考え方をしますと・・・底辺ＢＣを区間［０，１］としますと折れ線の谷の点、すなわち底辺と折れ線の交点は二進数表示の有限小数となります。
０．０１０１０１１１００１１
という表示ですね。
無限回の操作で得られる「谷の点」全体は二進数表示の有限小数全体となり、有理数全体の部分集合となります。
底辺は可算個よりも多い連続体基数ですから、折れ線の極限があったとしても底辺ＢＣにはなりません。

折れ線はポイントワイズ（点別）には底辺へ近づいていますので、折れ線を関数とみれば、極限関数は底辺になります。
ポイントワイズに収束する場合、長さが保たれない簡単な例は
直角三角形の斜辺を別の辺へ投影して近づいている場合ですね(o^^o)

この問題で分かるのは
limと２＾の記号は交換不可能ということですね。

各Ｎステップに対して折れ線で表される関数をｆ_Ｎ（ｘ）としますと

Ｆ（ｘ）＝ｆ_１（ｘ）+ｆ_２（ｘ）+・・・

という関数級数を考えますとＦ（ｘ）は連続関数にはなりますが、至るところで微分不能な関数の例となるでしょう。

[10] mixiユーザー 05月07日 09:53

このたびこのコミュニティに登録を許可されたWaterと申します。よろしくお願いいたします。この場をお借りして少々自己紹介をさせていただきます。

このコミュニティでも理科系か文化系かの議論がありましたが、私は小学生の頃から理科系だったようです。興味の関心が医者になること（野口英世の伝記）→化学→数学と移り、この50年は変化がありませんが、数学の成績は良くありませんでした。

このトピックについては中学2年の頃、ある本がきっかけで友達や先生と議論したことがあって、懐かしく思い出しました。あのときの結論は「いくら折れ線が辺BCに限りなく近づいても長さがAB＋BCであることには変わりはないのだからBCにはならない」というものだったような記憶です。上の高度な議論にはついていっていなくて m(_ _)m。

今後ともよろしくお願いいたします。

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