数学的帰納法は帰納法じゃないコミュの順序が逆？

概念の枠組みが変わると言うのは、物理の世界でも頻繁にありますよね。

頭の中だけでの世界で構築されたものとして、相対性理論が有名です。アインシュタインは実際にどうなるかには当初興味がなく、光速が重要な物理定数であるとの前提に立ち理論を構築していったところは、非常に数学的ですね。

ハイゼンベルグは、自分で実験することには全く興味がなく、人が実験して出してきたデータを、どうやって矛盾なく説明できるかを考え、積の交換を認めないと言うことを思い立ち、行列力学を見つけたのは有名な話です。

この事例からだけでも、物理の世界での革命的な出来事は数学的思考が極めて重要であることを支持していますね。そしてそれはごく一部の天才によるものであることも、興味深いことです。

かいさん
はじめまして

電流と言う概念が考えられた時は、電流の実体が何なのか？はまだ知られていませんでした。電荷の流れを想定すれば実験でえられた電気現象をうまく表現できることから、電流と言う概念が提出され、この概念が受け入れられたのです。

この時、電流の向きも定義されました。現在でも電流と言う概念は、矛盾なく、破綻していません。

その後になって、最小の負の電荷を持つ電子という粒の存在が確かめられました。

電気現象の多くは、電子と物質の相互作用で説明できることが分かってくるようになり、電線(導体)を通る電流は負の電荷を持つ電子の流れと考えた方が良いだろう、と考えられるようになりました。電流と言う概念は破綻していませんから、負の電荷を持つ電子が電流と逆向きに移動すると理解すれば何の矛盾もありません。

電流の向きと電子の流れる方向には、このような歴史てき背景があるようです。

かいさん

電気現象と磁気現象は実はお互いに関連していて、それらをまとめて電磁気現象といいます。電磁気学なんて科目があるくらいです。電磁気の基礎方程式としてマックスウェル方程式が有名です。

マックスウェル方程式は、それまでの電磁気に関する主要な方程式を一つにまとめたものですが、単に複数の方程式をまとめただけでない、素晴らしいものなんです。何が素晴らしいかと言えば、この方程式から、当時発見されていないものまで予測できるからで、だからこそ基礎方程式と言われます（詳しくは後述）。

さて、マックスウェル方程式が出来た時は、まだ電子に関する理解は殆どありませんでした。負の電荷を持つ電子と言う素粒子の性質が明らかになったのは、マックスウェル方程式がまとめられたよりも後のことで、そんなに古いことではありません。この歴史の順序から、マックスウェル方程式が電子の存在に依拠していないことが分かります。

電磁気現象を注意深く観察し、それを記述したものがマックスウェル方程式で、ここでは電流と言う概念を利用しています。この方程式が成立する前提が正しい限り、電子の実態が分からなくても、事実を正しく表現できるし、応用も効くと言うわけですね。電子に対する理解がなくても困ったことは無いわけです。

そして、電子がどういうものか分かってくると、結果的にマックスウェル方程式など、それまでの多くの（全てではありません）電磁気に関する方程式が、電子の存在と矛盾していないことが分かったわけです。

ここから先は解釈の問題でして、正の電荷が流れると言うことと、負の電荷が逆向きに流れることは、マクロの見方をする限り全く同等のことになります。電子が流れた結果として、電流が有る．．．と理解すれば良いことになります。

正の電荷が流れる方向に定義された電流は、長らく慣れ親しんだものなので、いきなり電子の流れで考えましょうと言われても、人間はそう簡単に適応できませんよね、これまで、メートル・キログラムでモノを考えてきたのに、いきなりインチ・ポンドで考えろと言われても困ってしまうのと同じことですよね。

だから、マックスウェル方程式が適用可能な事柄（実はこれが非常に広範囲に渡ります）については、昔から慣れ親しんだ「電流」で考えましょう、と言うことになります。そして、必要に応じて、頭の中で電子の流れと逆方向の電流を同時に想像すれば良いことになります。

電流と電子の流れとの間には、幸いなことに矛盾はなく、単に解釈の違い、表現の違いでしかないことは、歴史的かつ慣れの問題としてしまって、あながち間違いでは無いと思います。

細かいことを言えば、電子の流れで電磁気現象を考えると、実は非常に複雑なことになると言う事情があるんです。より抽象化された「電流」とした概念をそのまま使った方が、余計な心配がいらないんです。

電子の流れとして考えると、やっかいになる一例をあげますね。１kmの長さの電線を電流が通る時、電子の流れを考えましょう。電子は電流と逆方向に流れます。では、ある電子が1kmの電線の端から端まで流れるのでしょうか？
実はそうではありません。電子と金属原子との相互作用の結果、統計学的に全体としてみれば負の電荷が流れると見えるだけで、電子と原子は、エネルギのバケツリレーをやっていると言うのが実態です。つまり「電子が流れる」と考えると、厳密には非常に複雑な現象まで考える必要が出てきて、これ以上考えるのはもう嫌だ．．．となってしまいます。だから「全体として電子が流れる」と考えると言うのは、実は複雑な現象を簡単に概念として考えると言うことになります。

だったら、昔から慣れ親しんでいる「電流」を使っても大差ない、むしろ慣れ親しんでいるぶん「電流」の方が楽なわけです。

電子の動きを理解するには、量子力学が必要になってしまいますが、既に十分理解されていて、使いこなされている電磁気学が使える場面で、わざわざ量子力学まで持ち出す必要がありませんよね。

雰囲気を分かって頂けたでしょうか？

*****

さて、マックスウェル方程式ですが、実はこの方程式から、当時まだ実態が確認されていなかった電波を見事に記述していることが、後から分かりました。と言うか、マックスウェル方程式を注意深く見てゆくと、電波は存在するもので、その性質まで理論的に導くことが出来るんです。

また、マックスウェル方程式を注意深く見ると、光＝電波の速度の最大値が、光の速度であることが分かります。言い換えれば、時間を逆行することがあり得るとも見ることが出来ます。

ここから、特殊相対性理論とのつながりが出てきます。

優れた理論とは、このように知らない現象まで予測できるものなんです。

マックスウェルもファラデーも実験から理論を組み立てたようですね。
マックスウェルの方程式は光と電磁波が同じものであるということを立証したことで、それだけでも大きな意味がありますね。

ニュートン力学は慣性系でガリレオの相対性原理が成立するような理論ですし、アインシュタインの相対性理論はマックスウェルの方程式が慣性系でも成り立つというアインシュタインの相対性原理が成立するための理論ですね。

光速不変の原理から仮想実験をして、ローレンツ短縮を求めるのは違和感がありましたが、電磁気法則が成立するためにローレンツ原理が必要でその結果、光速不変になるという進め方のほうが私は好きです(^^;

電流の流れのイメージは私は「玉突き現象」に近いものでした。
物理学はいくら理論を組み立てても実験で否定される場合もありますね。
それであまり好きじゃないのかも・・・σ(^_^;

かいさん

実験結果を合理的に説明するために、理屈が考えられ、そのために数学を使う。これが物理的なアプローチですから、新事実が発見されたら理論が検証され、理論を拡張したり、新しい理論を考える、これが正しい姿勢と教わりました。

純粋な数学はそれ自体で完結することが許される、或いは完結しなければならないというものでしょう。後戻りは無しと言うことのように感じます。

かいさん

４つの力を統合しよう言うのは、恐らく重力、電磁気力、強い力、そして弱い力の４つではないかと思います。私が見聞きしている範囲では、重力以外の３つは統一できるようです。

さてエネルギーが低減しつつエントロピーが増大する事例ですが、私もすぐには思いつきません。もうちょっと考えてから後で書き込みたいと思います。

ＹＡＳＵさん、かいさん＃

４つの力が同じになるのはもっともっと大きなサイクロンが必要のようですね。
太陽の中心では同じになっているかも・・・(^^;

重力については重力波がまだ観測されていないようですね。

離れている物体同士が作用しあうのは不思議なものですねぇ・・・(^^;

統一場理論ですが、電磁気力、弱い力、強い力を統一した理論については、実験的事実から怪しいとされているようです。今のところ電磁気力と弱い力の統一までは進んでいるようです。

完全に私の理解を超えていますが、重力以外統一されたと言うのは間違っているようで補足させて頂きます。

今のところ、力は粒子の交換で説明されており、交換する粒子については、電磁気力（光子）と弱い力（Ｗ粒子とＺ粒子）、強い力（グルーオン）と見つかっていますが、重力（グラビトン）については、まだ観測されていないようです。

力を説明する試みについては、歴史的に遠隔作用→近接作用→粒子の交換、と変遷があり、面白いです。

しかし力の源泉に関する理論は上記の変遷をたどりますが、実際に力を記述して応用する場合は、昔の理論でも適用範囲を間違えなければ、今でも十分に使える有用なものであることは、電流と電子の流れの関係と同様です。

重力の統一が難しい理由は、色々と有るのでしょうが、重力の作用距離が非常大きいことから、グラビトンを見つけるにはかなりの高エネルギー実験が必要だと言うのが、理由の１つにあるようです。グラビトンは素粒子の１つですが、素粒子を見つけるために、素粒子などの衝突実験が繰り返されています。そのためには加速器と言う装置を使って、２つの粒子を反対向きに加速して衝突させ、何が飛び出すのかを観測します。

現在までにグラビトンが見つかっていない理由として考えられているのが、現在の加速器のエネルギーがまだ小さい、或いはグラビトンの存在予測がそもそも間違っているか、のどちらかです。現在のエネルギーレベルの加速器を建設するには、もやは一国の予算では無理があり、国際協力の元進められています。

かいさん

何らかの現象変化が起きる時、変化の前後ではエネルギの総和は変化しないことが「エネルギー保存則」として知られています。何らかの変化を観測するとき、系を出入りするエネルギーの総和がゼロと言うことですね。
そしてそれとは無関係に「エントロピー増大則」も知られています。

エネルギーの高い状態は、低い状態へ移行しようとする、と言うのは、エネルギー保存則に反するものです。しかし現実にそれが観測される時、全エネルギーの一部だけを見ていることになります。

簡単な例で言えば、ある物体を、所定の高さで保持しておき、それを解放すればとどうなるでしょうか？このときこの物体は高さ（地球からの距離）に応じた位置エネルギーを持っています。物体を解放すると地球との距離が小さくなって位置エネルギーは減少します。しかし失った位置エネルギーに相当するだけの運動エネルギーが物体に引き渡され、速度が増加します。速度が増えれば、物体の運動エネルギーは増加します。しかし位置エネルギーと運動エネルギーの総和は常に一定です。これがエネルギー保存則です。物体の落下に大気との摩擦を考えれば、位置エネルギーは一部熱エネルギーに変化します。

エントロピーは気体に関する熱の出入りを扱う熱力学において、考え出された状態量です。熱力学は１８世紀の産業革命後、蒸気機関の効率を如何に高めるか？と言う極めて現実的な目的のために構築された理論です。気体（水蒸気）に熱の出入りを与えた時に、できるだけ多くの仕事を取り出すことが、熱力学の最大の命題でした。

当時は分子運動論や統計熱力学などが無い時代で、熱そのものの正体も全く分からない時代でした。熱とはフロジストンと言う物質ではないかと、真剣に考えられていた時代です。但し時代はそんなことには興味がなく、いかに効率よく蒸気機関に仕事をさせるかを突き詰めることが優先されました。

気体に熱を与えて、１００％仕事として取り出すことが出来れば理想的です。しかし熱力学によれば、気体の最高温度と最低温度の割合で、熱機関の効率が決定されると言うことが理論的に導き出されました。水蒸気の最高温度は１００℃程度（高圧下では水の沸点１００℃より少し高い温度）なので、最低温度を下げれば効率は向上するのですが、当時の技術ではせいぜい
２５％程度が理想的で、現実的には１０％程度でした。

気体に熱を与えて取りだせる仕事以外に、気体に閉じこめられて取り出せないものを束縛エネルギーと呼ばれており、エントロピーが関係しています。エントロピーに温度をかけ算するとエネルギーの単位になります。つまりエントロピーに温度を掛け合わせただけのエネルギーは、取り出すことが出来ないのです。

当時はエントロピーに乱雑さと言う概念は全くありませんでした。乱雑さと言う概念が出てきたのは、分子運動論が構築された、もっと後の時代です。エントロピーの語源は内部にあるものと言う意味で、欲しいけれど手に入らないエネルギーと言う当時の気持ちを反映した銘々のようです。

エントロピー増大と言うのは、自然に変化が向かう方向を熱力学的に見てゆくと、定義されたエントロピーと言う状態量は増える方向にあるらしい、と言うだけのものでした。分子運動論が登場してきて、ようやくエントロピー増大則が正しいことが理解されました。

ここにも科学の進歩の歴史が大きく絡んでいます。

さて、変化の過程でエネルギーが減少すると言うのは、一部だめに着目するから言えること．．．これはもうお分かりかと思います。

ところで、都合の良い面だけを切り取る場合、「物質」と言う表現は考察の枠を狭めてしまいます。ここでは「系」と言う言葉を使うべきでしょう。

次の投稿に続く．．．

続き．．．

ブラックホールについては、放っておけば次々と物質を飲み込み、質量は増大するので、重力エネルギーが確実が増大します。これも候補から外した方が良さそうですね。
ちなみにブラックホールを物質と呼ぶには無理があると思います。これは天体の種類を示す名称です。

さて、何か都合の良い系は無いものか？

かいさんが、化学の先生に、そのような物質は無いものか？とお尋ねになったとのことなので、化学変化をみてみましょう。

原子の組み替えが起こる過程、つまり化学反応を考えると、発熱するには、内部に蓄えられたエネルギーが解放されることを意味します。

化学変化において解放されるエネルギーの供給源は、原子と原子をつなぎ止めるために必要なエネルギーが結合エネルギーです。結合エネルギーを解放するには、結合が減ることになりますから、分子数は増えますね(一体圧力条件下ではエントロピーは増大します)。

すると不安定で自然に分解するような分子で、分解する時に発熱するような化学反応があれば、都合の良い系になりそうです。ところが、そんな化学物質があるならば、すぐに分解していまうので、普通には存在しないことになります。分解しないように保存可能としては、冷暗所に保存するとか、空気との接触を断つとか、特定の触媒作用を持った物質との接触を断つなど、何らかの低エネルギー状態での保存方法が必要でしょう。

すると、反応を進めるには、低エネルギー状態から分解が開始できるだけのエネルギーを外から与える必要がありますから、その時点でエネルギーは増大しますからダメです。

化学反応の、ごく一部だけを切り取っても、その中間状態がご希望の物質であると言うのは、無理があると思います。

熱は高い方から低い方へ流れると言うことを、エネルギーが高い状態から低い状態へ移行することと同じとの認識がもしあるならば、そこに混乱があると思います。

温度の高い状態から低い状態へ自然に移行するのは、エネルギーの話では無く、エントロピーの話だからです。

*****

熱力学では、温度の高い状態から低い状態へ移行した後、そこで得られたエネルギーだけを使って元に戻すことは出来ない、つまり、勝手に元に戻ることは無い、と言う当たり前の経験則が前提にあります。

これは、第二種永久機関はできない、と言うことを別の表現で言っているわけです。

勝手に元の状態に戻ることが出来る過程を「可逆過程」と言います。そうでない過程を「不可逆過程」と言います。

*****

さて、熱のやりとりが無く(「断熱系」と言います)不可逆過程がで、元の状態に戻る時、エントロピーは増大すると、言うのが厳密な話になります。

断熱系であることに加えて、「元に戻る」と言うことがエントロピー増大則の重要な条件になります(数学的に証明できます)。

但し、世の中は可逆過程と不可逆過程しかありませんから、何らかの変化があれば、そこには必ず不可逆過程を含みます。

従って、断熱系で、色々な経路を通って元に戻ると、エントロピーは増大すると言えます。

ある過程の一部だけを切り取って見ると、エントロピーは増大したり減少したりします。

宇宙全体を見ると、全体として熱のやりとりは無いので（宇宙の外は無い、或いは考えないから）宇宙全体は断熱系です。
だから、宇宙全体を考えれば、エントロピーは増大する、となります。

宇宙の中で、部分的にはエントロピーは減少してもおかしくなく、我々生物は生きている限りエントロピーを減少させようとしています。エントロピー増大は死を意味します。

逆に生物は、生命を維持することによって、周りの環境のエントロピーをより増大させるように作用していることになります。

*****

分子運動論は、分子の動きを統計力学で考える理論で、熱は分子の運動エネルギーであると考えます。分子の動きを全体として見ると、あちらこちらを跳ね回った結果、全体に均一に分布してゆきます。これがエントロピー増大則です。

ありらこちらを跳ね回る時、熱の出入りが有れば、その影響で場所により分子運動にむらが生じますから、全体に均一にはなりません。熱の出入りが無い時、つまり断熱系において、全体的に均一になります。また分子は勝手に一カ所にまとまりません。つまり不可逆過程です。

従って、断熱系で不可逆過程が起これば、エントロピーは増大するとなるわけです。

かいさん

素朴な疑問ほど答えるのが難しく、また私の力量の無さのために、長々と書いてしまい申し訳有りません。
高校や大学教養過程では、今回のお題に対して、混乱を与えるような教え方が多いと感じていました。つまり歴史的に全く異なる時期に構築された熱力学と分子運動論を一緒くたに教えている点に問題を感じていたので、敢えて両者を区別しようと試みました。

私自身、両者の違いを知ることでようやく感覚的に理解できた経験があります。

１８世紀に構築された熱力学は、高校でやっていない偏微分がいきなり出てくるのに、数学をきちんと教わらないうちにどんどん先に進んで、数学に圧倒されたまま本質を直感的に理解しないまま訳が分からないと言う理系の人も多いようです。この事情が、熱力学と分子運動論を一緒くたに説明しているサイトを見かける原因にもなっているようにも感じています。

数学的な正しい理解があれば、熱力学は分かりやすくなるのですが、今回は数学にあまり触れずに言葉での説明を試みたので、失敗しているかも知れません。

お題がもう少し絞り込めたら、数学のお話へ展開できるかも知れません。

「ゼロから学ぶエントロピー」という本を図書館で借りました(^^;
ボチボチ読んでみようと思っています(^^;

かいさん

分かって頂けた、少なくともイメージを掴めて頂けたならばうれしいです。

ユックさん

どんなことがかかれているのでしょう？

エントロピーには３種類の説明がありますよね。
1. 熱力学的説明
2. 分子運動論的説明
3. 情報理論的説明

さて、どれがどのように、どの順序で説明されているのか、興味があります。

ＹＡＳＵさん＃
目次の大見出しだけ書いてみます(^^;

１章　　エントロピーと作った男
２章　　温度という魔物
３章　　熱っぽい原子の運動
４章　　永久機関の崩壊
５章　　謎のエントロピー
６章　　ミクロから見たエントロピーの正体
７章　　アンサンブルとは何か？
８章　　億万長者を生み出す
９章　　情報はどこまで圧縮できるか
１０章　エントロピーは一つ？

です。イラスト入りの解説本です(o^^o)

かいさん＃
ISBN4-06-154669-4　です(o^^o)

目次の１章は「エントロピーを作った男」でした。「と」と「を」の間違いでしたm(_ _;)m