数学的帰納法は帰納法じゃないコミュのアキレスと亀

ゼノンのパラドックスの１つで有名ですが、サイトで見てみる限り、納得する説明が見あたりません。私なりに回答はあるのですが、それが正しいのかどうか．．．．

アキレスと亀が競争しようということになりました。
亀は歩みが遅いのでハンディを貰ってアキレスよりも前からスタートすることになりました。
すると亀は言うのです「既に勝った、あなたは私を追い越すことは出来ませんよ」。
アキレスが亀のスタート地点に達する時には亀は先に進んでいます。その地点にアキレスが到達する時には亀はさらに先に進んでいます。これを無限に繰り返すせばアキレスは亀を追い越すことができません。

この理屈の問題点を指摘するのは、そんなに難しいことでは無いと思うのですが、なぜだか哲学を語るサイトでは非常に難しい問題だと言っています。

なんでかなぁ？

コメント(21)

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[2] mixiユーザー 07月31日 17:16

かいさん

オリジナルは『最も速いもの』と『最も遅いもの』だったらしいです。

[3] mixiユーザー 07月31日 20:28

ＹＡＳＵさん、新しいトピック、有難うございます。

個人的に「亀レス」に対して速いレスを「アキレス」と言っていたのですが、あまりウケませんでした(^^;

このステップごとに考えるのはここの話題に相応しいですね(o^^o)

すぐに思いつくのが時間が実数軸だとして極限を考えて説明することでしょうね。
でも時間が実数とは違っていれば極限が存在しないこともありえますから、完全な答えとは言えないでしょうね。

ギリシャ人が数学に「証明」ということを持ち込んでくれました。考えることが好きだったんでしょう(o^^o)

[4] mixiユーザー 07月31日 22:20

ユックさん

ええ、そうなんですよ。極限を持ち込んだら、この命題の意味が明確になると思うんですね。

ギリシャ人は極限の考え方を知らなかったから、無限に時間がかかると思っちゃったのではないかと．．．

但し、この命題に取り組むために、極限を持ち込んじゃ反則なんでしょうか？

[6] mixiユーザー 08月01日 11:34

かいさん

何かを無限大、無限小にすると、理想的、仮想的にどうなるのか？を考える時、極限を考えると、言います。数学的に厳密な説明はユックさんにお任せ致しますが、雰囲気はそんな感じです。

[7] mixiユーザー 08月01日 12:09

ＹＡＳＵさん＃
ギリシア時代の三大難問（角の三等分、正方形の面積と等しい円、倍の体積をもつ立方体、これらの作図問題）を解決するのには現代数学の成果が必要でしたので、ゼノンの逆理にも極限を持ち込むのは決して反則ではないと思います。

各ステップに要する時間がどんどん短くなり、その総和が一定の値を越えることはないことは等比数列の和が極限値を持つことで分かります。
前提としては
（アキレスの速さ）＞（亀の速さ）
であり、
比が１よりも小さくなるからです。

他の考え方として

１回目、２回目、・・・、Ｎ回目、・・・

と順番（＝順序）として捉えるのもあるかなと思います。
整理して別のコメントにしたいと思います<(_ _)>

[8] mixiユーザー 08月01日 21:24

かいさん
ユックさん

ユックさんの解説お待ち致します。

上記の逆理については、アキレスが亀に一定有限時間で追い付くまでの議論であって、追い越すかどうかは議論に含まれない。つまりたんなるイチャモンにしか聞こえないんです。

[9] mixiユーザー 08月02日 07:04

ＹＡＳＵさん＃
たんなるイチャモンかも知れませんが当時は「忌々しいイチャモン」だったでしょうね。ピタゴラスは正方形の対角線が有理数でないことに衝撃を受けたようで、秘密にしていたそうですから、かなり深刻な逆理だったかも知れません(^^;

ステップごとに考えた場合、

１回目、２回目、・・・、Ｎ回目、・・・

となりますが、これは自然数が並んでいると考えられます。
このような場合、自然数は「個数」を表すのではなく「順序」を表す「順序数」だと考えられます。
自然数の二面性の一つですが、ペアノの公理はこの順序のほうの性質に注目したものです。

無限といいますと「個数」のほうが理解しやすいでしょうが「順序」のほうも無限があります。
個数の概念よりも順序の概念のほうがデリケートです。
一番小さい無限個（基数）は（アレフ０）で表します。「アレフ」はヘブライ文字の一番目の文字ですが、表示できませんのでカタカナで表します<(_ _)>
順序数のほうは「ω（オメガ）」で表し、順序数を順番に表記しますと次のようになります。

１，２，３，・・・，Ｎ，・・・，ω，ω＋１，ω＋２，・・・

となります。

そこで

１回目、２回目、・・・、Ｎ回目、・・・、ω回目

と並んでいるステップを考えます。

「亀の歩いた距離」と「アキレスの走った距離」を考えますと

Ｎ回目までの「亀の歩いた距離」＝（Ｎ＋１）回目までの「アキレスの走った距離」

ですから、

「ω回目までに亀の歩いた距離」＝「ω回目までにアキレスの走った距離」

となり、ω回目に亀とアキレスが並ぶことになります。

帰納法の一般化で超限帰納法というのがありますが、この手法を使って「ω回目」のステップを定義できます。
定義の仕方は
「亀の通算で歩いた距離」と「アキレスの通算で走った距離」で各ステップと看做すことが必要ですが・・・(^^;
理由は「運動」で定義は出来ませんので・・・

重要なのは「ω回目」に対応する時間が有限か無限ですが、有限のときには「追いつく」のであり、無限のときには「追いつかない」ということになります。
「追いつかない」ときには亀がアキレスよりも速く歩くことになります。
逆理を逆に考え、矛盾を回避したような感じで気持ちが悪いですね（自爆）

[10] mixiユーザー 08月02日 09:42

【修正と補足】
修正箇所があります<(_ _)>

「亀の歩いた距離」ではなく「亀の歩いた距離＋ハンディ距離」と読み替えてください。

（アキレスの速さ）＞（亀の速さ）

であれば、（アキレスの走った距離）は時間を十分大きく取れば

（アキレスの走った距離）＞（亀の歩いた距離＋ハンディ距離）

となりますので、「ω回目に対応する時間」は有限となります。

[11] mixiユーザー 08月02日 23:11

ユックさん

運動、つまり単位時間の移動距離、或いは速度の概念を用いない場合、有限時間でアキレスは亀に追い付くことを証明できませんよね。

０より大きい１より小さい任意の実数の無限回の積が０であることを証明できれば、アキレスが亀に追い付くことは証明できます(実際やってみた)が、追い付くまでの時間が有限である保証はなく、ゼノンの思うつぼでは有りませんか？

[13] mixiユーザー 08月03日 07:04

ＹＡＳＵさん＃
＞０より大きい１より小さい任意の実数の無限回の積が０であることを証明できれば、アキレスが亀に追い付くことは証明できます(実際やってみた)が、追い付くまでの時間が有限である保証はなく、ゼノンの思うつぼでは有りませんか？

無限回の積が０になることは「実数の連続性」を利用しないと証明はできませんね(^^;
どっちみち実数の連続性が関係しているのでしょうね。

【定理】実数の無限列が単調減少（増加）していて下（上）に有界ならばある値に収束する。

これを使えば０＜ｒ＜１のとき
０＜ｒ＾ｎ
ですから｛ｒ＾ｎ｝はある値αへ収束します。
ｒα＝α
ですから
α＝０

私の言いたかったことは
（アキレスの走った距離）＜（亀の歩いた距離＋ハンディ距離）

が初期条件ですね。
速度の概念は前提として使用しますと（時間）×（速さ）が（走った距離）となりますから、十分大きな時間を考えると

（アキレスの走った距離）＞（亀の歩いた距離＋ハンディ距離）

となります。追いつく「時」が無いのに何故こうなるのかというのがゼノンの言いたいことであり、連続性が概念として無い時代にはステップ的に言われると矛盾になったのだと思います。
「ω回目」というステップで追いつくことが分かるので矛盾が解消されると思うのですが・・・(^^;

(ﾟ.ﾟ;・・・出勤しないと・・・m(_ _;)m

[14] mixiユーザー 08月03日 09:18

かいさん＃
各ステップの時間が短くなるだけでは追いつくまでに有限の時間がどうか分かりません。

たとえば各ステップの時間が「１/Ｎ」としますと確かに時間は短くなりますが、

１+１/２+・・・+１/Ｎ+・・・＝∞

となり、永遠に追いつけません。アキレスが疲れて途中で休み、各ステップの時間が幾何級数的に減少しないからでしょう(^^;

この場合は十分大きな時間経過を考えても

（アキレスの走った距離）＞（亀の歩いた距離＋ハンディ距離）

とはならない場合です。
追いつく時間が無限であるという表現（適切かどうかは別にして）になります。

[17] mixiユーザー 08月08日 20:39

ミズさん＃
運動の概念まで考えるというのは哲学でしょうね(o^^o)
「運動」・・・時間のない世界の数学ではどのように考えるべきなんでしょうね。
もし・・・我々の「時間」も「空間」も実数的なものであるとするならば、「運動」というのは「連続関数」として表現できると思います。

そうしますとゼノンの投げかけた問題は次のように言い換えられるのではないでしょうか。

二つの連続な単調増加関数、Ａ（ｔ）とＫ（ｔ）があり、Ａ（０）＜Ｋ（０）とする。
十分大きなｔ_0に対して
Ａ（ｔ_0）＞Ｋ（ｔ_0）ならば、あるｔ＝αで
Ａ（α）＝Ｋ（α）となるか？

数学的には正しいのでゼノンの逆理は逆理ではなくなるのですが、無限のステップに分解しますと時間の連続性を仮定しないと解決できないでしょうね(o^^o)

アキレスの軌道、亀の軌道・・・これらをまず最初に十分大きな時間の範囲で考えてしまうのが数学なので、全然、「逆理」にならなくなってしまいますm(_ _;)m

[19] mixiユーザー 08月12日 03:29

ミズさん、コメント有難うございます。
私のハンドルは「ユークリッド」ではなく「ユックリード」です(^^;
数学においても「時間」はありませんから、「運動」は存在しないのです(^^;

物理現象を説明するために数学が利用されていますので、「時間」も実数変数によってパラメータ化されています。

（尤も、数学も物理的な経験が無ければ生まれなかったでしょうが・・・(^^;））

ですから、三角形同様、ゼノンの逆理も数学的解釈をすると逆理ではなくなってしまいます。

哲学的な解明が待たれるのでしょうね(ﾟﾟ)(｡｡)

[20] mixiユーザー 08月12日 16:11

脱線ですが、相対論で有名なミンコフスキーの座標では、時間を意味する軸を、その時間に進む光の距離：ct で表現した４次元の時空として扱います。時間は距離になってしまいます。

ユークリッドの幾何学ではありませんが、幾何学問題に置き換えることが出来るので、２次元の極端な例を考え紙に表現することで、私などでもイメージを掴むことができて面白いですね。

相対論にまつわる哲学はなにやら面白そうで、最近ちょこちょこと本を買って読んでいます。古くはライプニッツの古典的な関係説とニュートンの絶対空間説との比較・議論は、マッハの力学などを巻き込み、今でも議論が続いているようです。

この空間や時間は絶対的な唯一無二なものではないだろう、と多くの人が考え始めているようで、哲学と物理学が違いに関係し合っている科学史は面白いです。

哲学と物理学の連通管現象（私の銘々ですが．．）に興味がわきます。

[21] mixiユーザー 08月13日 06:49

数学の立場は色々な空間を用意するから、我々の住んでいる宇宙がどの空間になるかは勝手に決めてくれというものでしょうね(^^;)

ガウスが密かにヨーロッパの三つの山で大きな三角形を想定し、測量してその内角の和が１８０度より大きいか小さいかを確認したのには驚きます。
今から考えますとその程度の小さな三角形では計測不能なのですが、実際に確認しようとしたのは凄いです。

昔の数学者は物理もやっていましたし・・・
ガウスは観測の誤差についても理論を創出しましたが、正規分布の曲線は彼の考案したものだと聞いています。

今はこのようなスケールの大きい人はいないですね。ガウスは偉大です(o^^o)

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