独学ノート（土筆の子）コミュの二平方数の和の例

二平方数の和の例。
242=2*11^2
315=3^2*5*7
343=7^3
2340=2^2*3^2*5*13
ここでの4k+3の形の素数は、3,7,11
これらが偶数乗で現れているもの、すなわち２つの平方数の和として
表せるのは、242と2340

9425を2つの平方数の和として表す方法は６通り
9425=5^2*13*29
素因数は３つとも4k+1の形の素数
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 ?
=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 ?
13=2^2+3^2, 29=2^2+5^2より
13*29= (2^2+3^2)(2^2+5^2) =(2*2+3*5)^2+(2*5-3*2)^2=19^2+4^2　?
= (2^2+3^2)(2^2+5^2)=(2*2+3*5)^2+(2*5-3*2)^2=11^2+16^2　?
5^2=3^2+4^2
9425=5^2*?, 5^2*?, {(3^2+4^2)*?}, {(2^2+3^2)*?}
=95^2+20^2, 55^2+80^2, {73^2+64^2, 41^2+88^2},
{97^2+4^2, 31^2+92^2}
の６通り。

6120を２つの平方数の和として表す方法は２通り
6120=2^3*3^2*5*17
4k+3の形の素数３は偶数乗で含まれているので２つの平方和として表される。
6120=(2*3)^2*2*5*17
5*17=(1^2+2^2)(1^2+4^2)=11^2+7^2, 13^2+1^2 の２通り。（?、?より）
したがって、
6120=6^2(11^2+7^2)=66^2+42^2と
　　　6^2(13^2+1^2)=78^2+6^2の２通り

707850を２つの平方数の和として表す方法は３通り
707850=2*3^2*5^2*11^2*13
4k+3の形の素数3と11は偶数乗で含まれる
4k+3の形の素数の部分3^2*11^2=33^2はあとで乗じる
2*13=26は1^2+5^2としか表せない
5^2*2*13=5^2(1^2+5^2)=5^2+25^2 ?
=(3^2+4^2)(1^2+5^2)=23^2+11^2 ?
=(3^2+4^2)(1^2+5^2)=17^2+19^2 ?
??は??の関係を使った。
707850=33^2(5^2+25^2)=165^2+825^2
=33^2(23^2+11^2)=759^2+363^2
=33^2(17^2+19^2)=561^2+627^2

494^21は２つの平方数の和として表せない。
494^21=(2*13*19)^21
4k+3の形の素数19が奇数乗で現れている。

定理：２つの平方数の和としての表し方の個数N(n)
n=2^a*{p_1^(a_1)p_2^(a_2)…p_s^(a_s)} {q_1^(b_1)q_2^(b_2)…q_t^(b_t)}
とする。p_iは4k+1の形、q_jは4k+3の形の素数
b_1, b_2,…b_tは必然的に偶数。このときN(n)は
N(n)=4(a_1+1)(a_2+1)…(a_s+1)

出典：整数の問題、水上勉著

コメント(1)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 06月17日 12:54

定理：N(n) と約数の個数の関係
nは自然数で、D_1とD_3はそれぞれ
D_1がnの正の約数のうち4k+1の形をもつものの個数
D_3がnの正の約数のうち4k+3の形をもつものの個数
とする。このとき
N(n)=4(D_1-D_3)

f(n)=D_1(n)-D_3(n)とする
f(ab)=f(a)f(b)が成り立つ。

N(n)≧0なので、
D_1≧D_3

出典：整数の問題、水上勉著

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ